Bài tập 134 trang 34 Không gian Tô pô liên thông

· Không gian Metric
Tác giả

Chứng minh rằng: tập con A của không gian tô pô X là liên thông khi và chỉ khi đối với cặp tập con mở (tương ứng đóng) bất kỳ U, V trong X sao cho A \subset U \cup V , từ  A \cap U \ne \emptyset và  A \cap V \ne \emptyset suy ra A \cap U \cap V \ne \emptyset

Giải

Từ định nghĩa không gian liên thông hiển nhiên ta có :

X là một không gian liên thông khi và chỉ khi nó không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở không rỗng không giao nhau.

Sử dụng điều đó ta chứng minh bài này như sau:

Giả sử tập con A của không gian tô pô X là liên thông và U, V là hai tập mở bất kỳ trong X, sao cho  A \subset U \cup V, A \cap U \ne \emptyset , và A \cap V \ne \emptyset

Nếu A \cap U \cap V = \emptyset

thì khi đó ta có:

A = (A \cap U) \cup (A \cap V) (do A \subset U \cup V)

A \cap U \ne \emptyset , A \cap V \ne \emptyset và mở trong A.

(A \cap U) \cap (A \cap V) = A \cap U \cap V = \emptyset

Điều này mâu thuẫn với A là liên thông

Ngược lại, cho giả thiết như trong đề bài ta phải chứng minh A là liên thông.

Giả sử A không liên thông thì \exists \,U',V' \ne \emptyset U’, V’ mở trong A sao cho A = U' \cup V'U' \cap V' = \emptyset

Theo định nghĩa tô pô cảm sinh:

U' = A \cap U, V' = A \cap V, trong đó U và V là mở trong X

\Rightarrow A = U' \cup V' \subset U \cup V

A \cap U = U' \ne \emptyset

A \cap V = V' \ne \emptyset

Nhưng A \cap U \cap V = (A \cap U) \cap (A \cap V) = U' \cap V' = \emptyset

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy A phải liên thông.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: