Bài 141 trang 35 Không gian Tô pô liên thông

· Không gian Metric
Tác giả

Cho M và N là những tập con đóng trong X và thỏa mãn M \cap N, M \cup N đều liên thông. Chứng minh rằng M và N cũng liên thông.

Giải

Giả sử M không liên thông

Khi đó, tồn tại hai tập U,V \ne \emptyset , đóng trong M,U \cap V = \emptyset M = U \cup V

Vì M là đóng trong X nên U và V cũng đóng trong X

Đặt A = M \cup N

B = M \cap N = (U \cup V) \cap N = (U \cap N) \cup (V \cap N)

Do B \ne \emptyset nên U \cap N \ne \emptyset hoặc V \cap N \ne \emptyset

Giả sử U \cap N \ne \emptyset

Khi đó:

B = M \cap N \subset U \cup V
B \cap U = (M \cap N) \cap U = N \cap U \ne \emptyset

B \cap U \cap V = \emptyset
Từ bài tập 134, ta có : B \cap V = (M \cap N) \cap V = N \cap V = \emptyset

Xét A = N \cup M = (N \cup U) \cup V

(N \cup U) \cap V = (N \cap V) \cup (U \cap V) = \emptyset

Hiển nhiên N \cup U \ne \emptyset ,V \ne \emptyset và đều đóng trong A.

Điều này mâu thuẫn với A là liên thông.

Vậy M phải là tập liên thông. Tương tự ta cũng có N là liên thông.

 

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: