Bài tập 140 trang 35 Không gian Tô pô liên thông

· Uncategorized
Tác giả

Cho M, N là những tập con liên thông của không gian tô pô X và M \cap\overline N\ne\emptyset . Hãy chứng tỏ rằng M \cup N cũng liên thông.

Giải

Cho M, N là những tập con liên thông của X và giả sử {x_o} \in M \cap \overline N

Nếu M \cup N không liên thông thì :

tồn tại các tập U,V \ne \emptyset ,  mở trong A, U \cap V = \emptyset A = U \cup V
{x_o} \in A = U \cup V nên {x_0} \in U hoặc {x_0} \in V

Giả sử {x_0} \in U,  ta sẽ chứng tỏ rằng  M \subset UN \subset U.

Thật vậy, giả sử  M\not\subset U

Do M \subset A = U \cup V \Rightarrow M \cap V \ne \emptyset

Hiển nhiên, M \cap U \ne \emptyset nên theo bài tập 134 M \cap U \cap V \ne \emptyset

Điều này mâu thuẫn với U \cap V = \emptyset

Nếu N\not \subset U thì do N \subset A = U \cup V nên N \cap V \ne \emptyset

Ta có {x_o} \in U,{x_o} \in \overline N . Vì U = U' \cap A (U’ là mở trong X) nên {x_o} \in U'

U’ là lân cận mở của {x_0},{x_o} \in\overline N \Rightarrow U'\cap N \ne\emptyset

U' \cap N = U \cap N nên U \cap N \ne \emptyset

Theo bài tập 134, cũng có N \cap U \cap V \ne \emptyset

Điều này mâu thuẫn với U \cap V = \emptyset

Vậy A = M \cup N \subset U

Nhưng A = U \cup V \Rightarrow V = \emptyset . Mâu thuẫn với V \ne \emptyset

Vậy A = M \cup N phải liên thông.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: