Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

· Xác suất thống kê
Tác giả

Giả sử A là biến cố bất kỳ và {B_1},{B_2},...{B_n} lập thành hệ đầy đủ các biến cố và P({B_i}) > 0.

Khi đó:

a) P(A) = \sum\limits_{i = 1}^n {P({B_i})P(A/{B_i})} (1.2)

Công thức (1.2) là công thức xác suất toàn phần

b) Nếu  P(A) > 0 thì:

P({B_k}/A) = \frac{{P({B_k})P(A/{B_k})}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {P({B_i})P(A/{B_i})} }} (1.3)

Công thức này được gọi là công thức Bayes.

Chứng minh

a) Ta có:

\begin{array}{l}A = A\cap\Omega = A({B_1} \cup {B_2}\cup ...\cup {B_n})\\= A{B_1} \cup A{B_2} \cup ... \cup A{B_n} \\\end{array}

Vì các

{B_1},{B_2},...,{B_n}xung khắc từng đôi nên A{B_1},A{B_2},.....,A{B_n}

cũng xung khắc từng đôi nên:

P(A) = P(A{B_1}) + P(A{B_2}) + ... + P(A{B_n})

\begin{array}{l}P(A{B_1}) = P({B_1})P(A/{B_1}) \\ ... \\P(A{B_n}) = P({B_n})P(A/{B_n}) \\\end{array}

nên

P(A) = P({B_1})P(A/{B_1}) + P({B_2})P(A/{B_2}) + ... + P({B_n})P(A/{B_n})

b) Theo công thức xác suất tính ta có:

P({B_k}A) = P({B_k})P(A/{B_k}) = P(A)P({B_k}/A)

Từ đó suy ra :

P({B_k}/A) =\frac{{P({B_k})P(A/{B_k})}}{{P(A)}} = \frac{{P({B_k})P(A/{B_k})}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {P({B_i})P(A/{B_i})} }}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: