Bài tập 2.4 Mảnh hình học và đa tạp hai chiều trong E^n

Tác giả

Bài tập 2.4. Chứng minh rằng ánh xạ sau đây là tham số hóa của một mảnh hình học trong (với tạo độ Đê các vuông góc x, y, z) và hãy mô tả hình học đó :

\begin{array}{l}r:{R^2} \to {E^3}\\\,\,\,\,\,\,\,(u,v) \mapsto r(u,v)=({u^2},uv,{v^2})\,\,(u > 0,v > 0)\\\end{array}

Giải

Lý thuyết:

Ánh xạ tiếp xúc f là đơn ánh thì f được gọi là dìm, toàn ánh thì f được gọi là ngập, song ánh thì f được gọi là trải.

f là một vi phôi  nếu f khả vi, ánh xạ ngược cũng khả vi

f là đồng phôi nếu f song ánh liên tục mà ánh xạ ngược liên tục

Đồng phôi f là một vi phôi khi và chỉ khi f là một trải

r gọi là đồng phôi lên ảnh khi và chỉ khi  

r:U \to r(U) là đồng phôi

Ánh xạ r đã cho có thể biểu thị được dưới dạng:

x = {u^2},\,y = uv,\,z = {v^2}\,(u > 0,v > 0)\,\,(1)

Rõ ràng x, y, z là các hàm khả vi của hai biến u và v; vậy r là ánh xạ khả vi.

Ta lại có:

r'(u) = (2u,v,0)

r'(v) = (0,u,2v)

Vì u > 0, v > 0 nên tại mọi điểm (u,v) \in U

, ma trận sau đây có hạng bằng 2 :

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2u} & v & 0 \\  0 & u & {2v} \\\end{array}} \right)

Vậy r là dìm

Với (u,v) \ne ({u_1},{v_1}) thì rõ ràng

({u^2},uv,{v^2}) \ne \,({u_1}^2,{u_1}{v_1},{v_1}^2)\,(u > 0,v > 0)

Vậy r là đơn ánh.

Do đó, có thể nói đến ánh xạ ngược {r^{ - 1}} từ

r(U) \subset {E^3} lên U.

Vì r được biểu thị bởi (1), cho nên {r^{ - 1}} được biểu thị bởi :

u = \sqrt x ,v = \sqrt z \,\,(x > 0,z > 0).\,(2)

Rõ ràng u, v là các hàm liên tục của ba biến x, y, z.

Vậy r đúng là một dìm, đồng phôi lên ảnh; nghĩa là ánh xạ r là tham số hóa của mảnh hình học r(U) trong {E^3}

Từ (1) suy ra {y^2} = xz (với x > 0, y > 0, z > 0 )

Điều này chứng tỏ rằng mảnh hình học đó là bộ phận của nón bậc hai xác định bởi điều kiện:

{y^2} = xz (với x > 0,y > 0,z > 0 )

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: