Ví dụ 1 (Ví dụ về đường vuông góc chung)

Tác giả

Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a.

Gọi I là trung điểm của BC,

Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:

a) OA và BC

b) AI và OC.

Giải

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên

OA \bot (OBC),OC \bot (OBA),OB \bot (OAC)

a) Ta có

 

OA \bot (OBC) nên

OA \bot OI

Tam giác OBC cân và IB = IC nên

OI \bot BC

Vậy OI là đoạn vuông góc chung của OA và BC và  OI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

b)

 

Gọi J là trung điểm của OB

H là hình chiếu của O lên AJ
Qua H kẻ đường thẳng song song với OC và cắt AI tại E, qua E kẻ đường thẳng song song với OH và cắt OC tại F.

Ta có :

OC \bot (OBA)

nên

OC \bot OH

Vì I, J lần lượt là trung điểm của BC, OB nên IJ // OC, do đó

{\rm{IJ}} \bot OH

Ta lại có:

OH \bot {\rm{AJ}}

nên

OH \bot {\rm{AI}}

Vì EF // OH nên

{\rm{EF}} \bot OC

{\rm{EF}} \bot AI

Vậy EF là đoạn vuông góc chung của OC và AI.

Ta có EF = OH

Trong tam giác vuông AOJ ta có:

\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{(\frac{a}{2})}^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}}

nên

OH = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}

Vậy

{\rm{EF}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: