Chứng minh đa tạp hai chiều (phần 3)

Tác giả

Ví dụ 3. Chứng minh Hypeboloid 2 tầng 

\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = - 1\,

là đa tạp hai chiều

Giải

Dấu hiệu 3. Cho W là lân cận mở trong  {E^3}

\varphi :{\rm{W}} \to R là hàm số khả vi

Tập hợp S = {\varphi ^{ - 1}}(0)

gọi là mặt trong {E^3}  xác định bởi phương trình ẩn  \varphi (p) = 0

Giả sử Oxyz là hệ tọa độ afin trong {E^3}

p(x,y,z)

Khi đó S = {\rm{\{ (x,y,z)|}}\varphi {\rm{(x,y,z) = 0\} }}

Điểm p(x,y,z) \in S được gọi là điểm kì dị của mặt S nếu như hàm

\varphi   không ngập tại p, tức là :

\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}{|_p} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}{|_p} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}{|_p} = 0

S\{tập các điểm kì dị}=đa tạp hai chiều của {E^3}

Đặt

\varphi (x,y,z) = - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 1\,

S = {\rm{\{ }}(x,y,z)|\varphi (x,y,z) = 0\}

\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{ - 2x}}{{{a^2}}}

\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{ - 2y}}{{{b^2}}}

\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = \frac{{2z}}{{{c^2}}}

\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 0 \\\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 0 \\\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = 0

Điểm O (0 ;0 ;0) không thuộc (S) nên không là điểm kì dị của (S)

Vậy S không có điểm kì dị hay S là đa tạp hai chiều.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: