Bài tập 3.24 trang 66 Sách Bài tập đại số đại cương

Tác giả

 

Bài tập 3.24. Giả sử X là một vành giao hoán, có đơn vị.

Một idean A \ne X của X được gọi là idean tối đại nếu và chỉ nếu các idean của X chứa A  chính là  X và bản thân A.

Một idean P \ne X của X gọi là nguyên tố nếu và chỉ nếu với

u,v \in X tích uv \in P thì u \in P

hoặc v \in P

a)  X/P là miền nguyên khi và chỉ khi P là idean nguyên tố

b) X/P là trường khi và chỉ khi A là tối đại.

Giải

a)

Giả sử P là một idean nguyên tố của một vành X;

X/P = {\rm{\{ x + P|x}} \in {\rm{X\} }} là vành thương của vành X trên P.

Vì P là nguyên tố nên P \ne X do đó X/P

có nhiều hơn một phần tử.

Đơn vị của X/P là e+P với e là đơn vị của X

Do X là vành giao hoán nên X/P  cũng là vành giao hoán

Bây giờ giả sử x+P và y+P là hai phần tử tùy ý của X/P  nếu

(x+P)(y+P)= 0+P=P

thì xy+P=P hay xy \in P

Vì P là nguyên tố nên hoặc x \in P

suy ra x+P=P=0+P hoặc  x \in P suy ra y+P=P=0+P

Vậy X/P không có ước của 0, do đó  X/P

là một miền nguyên.

Giả sử X/P là một miền nguyên

Khi đó X/P có nhiều hơn một phần tử, do đó P \ne X

Giả sử x, y là hai phần tử thuộc X sao cho xy \in P

, như vậy xy+P=(x+P)(y+P)=P=0+P.

Vì   X/P không có ước của \overline 0

nên suy ra hoặc x+P = P hay x \in P

hoặc y+P = P hay  y \in P

Vậy P là một idean nguyên tố

b)X/A là trường khi và chỉ khi A là tối đại.

Giả sử X/A là một trường.

Khi đó, X/A có nhiều hơn một phần tử do đó A \ne X

Giả sử I là một idean của X sao cho I \supset A

như vậy có một phần tử {x_o} \in I - A

Ta xét {x_o} + A \in X/A

Vì {x_o} \notin A nên {x_o} + A

khả nghịch, nghĩa là có một phần tử x{'_o} + A

sao cho (x{'_o} + A)({x_o} + A) = x{'_0}{x_0} + A = e + A

, hay  e = x{'_0}{x_0} + a,a \in A

.

Vì {x_o} \in I và e \in A \subset I

nên e \in I do đó I = X.

Vậy A là idean tối đại của X.

Đảo lại, giả sử A là idean tối đại của X thì A \ne X

 ,do đó X/A có nhiều hơn một phần tử. Vì X là một vành giao hoán có đơn vị nên X/A cũng là một vành giao hoán có đơn vị

Bây giờ, giả sử x + A là một phần tử khác không hay x + A \ne A

, vậy x \notin A

Xét idean I của X mà I = A+xX.

Khi đó I \supset A và x \in I

.

Vì A là tối đại nên I = X suy ra e \in I

Do đó e = a + x{x_1} với a \in A và

{x_1} \in X

hay

e + A = (a + x{x_1}) + A = x{x_1} + A = (x + A)({x_1} + A)

Điều đó chứng tỏ {x_1} + A  là nghịch đảo của x + A.

Do đó X/A

là một trường.

Từ hai kết quả trên ta có nhận xét:

Mọi idean tối đại đều là idean nguyên tố.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: