Bài toán hỗn hợp (phần 2)

Tác giả

Giải 2

(II)\left\{ \begin{array}{l}{v_t} = {a^2}{v_{xx}} \\v(x,0) = \varphi (x) - {u^*}(x,0) = {\varphi ^*}(x)\, \\v(0,t) = v(l,t) = 0 \\\end{array} \right.

Giải (II) Tìm v = X(x). T(t)

\frac{{T'}}{{{a^2}T}} = \frac{{X''}}{X} = - \lambda \,\,\,(c{\rm{ons}}t)

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}X'' + \lambda X' = 0 \\  T' + \lambda {a^2}T = 0 \\\end{array} \right.

Xét

\left\{ \begin{array}{l}X'' + \lambda X' = 0 \\X(0) = X(l) = 0 \\\end{array} \right.

Trường hợp 1. 

\lambda < 0

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

X(x) = {C_1}{e^{\sqrt { - \lambda } x}} + {C_2}{e^{ - \sqrt { - \lambda } x}}

Để các điểu kiện biên (2) được thỏa mãn cần có :

{C_1} + {C_2} = 0,{C_1}{e^{\sqrt { - \lambda } l}} + {C_2}{e^{ - \sqrt { - \lambda } l}} = 0

Do đó cần có:

{C_1}{e^{\sqrt { - \lambda } l}} = {C_1}{e^{ - \sqrt { - \lambda } l}}

Đẳng thức này được thực hiện chỉ khi {C_1} = 0, điều này có nghĩa {C_2} = 0  . Khi đó ta chỉ nhận được nghiệm tầm thường của phương trình (1).

Trường hợp 2: \lambda = 0

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

X= {C_1}x + {C _2}

Để  X(0) = 0 cần có  {C_2} = 0

Khi đó, điều kiện X(l) = 0 trở thành {C_1}l = 0, tức là

{C_1} = 0. Như vậy cũng như trường hợp 1, ta chỉ có nghiệm tầm thường của phương trình (1) là thỏa mãn điều kiện biên (2)

Trường hợp 3.\lambda > 0

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

X(x) = {C_1}c{\rm{os}}\sqrt \lambda x + {C_2}\sin \sqrt \lambda x

Để thỏa mãn điều kiện biên X(0)=0, cần có {C_1} = 0

Khi đó, điều kiện X(l) = 0 có dạng :

{C_2}\sin \sqrt \lambda l = 0

Nếu {C_2} = 0 thì ta chỉ tìm được nghiệm tầm thưởng của phương trình (1). Do vậy chọn {C_2} \ne 0. Khi đó

\sin \sqrt \lambda l = 0 \Leftrightarrow \sqrt \lambda l = k\pi \Leftrightarrow \lambda = {(\frac{{k\pi }}{l})^2}

Suy ra

X = C\sin \frac{{k\pi }}{l} = 0

Như vậy ta đã giải ra X

Giải ra T tiếp

T' + {(\frac{{k\pi a}}{l})^2}T = 0

\Rightarrow \frac{{T'}}{T} = - {(\frac{{k\pi a}}{l})^2}

\Rightarrow \ln \left| T \right| = - {(\frac{{k\pi a}}{l})^2}t + C

\Rightarrow T(t) = D\exp ( - {(\frac{{k\pi a}}{l})^2}t)

Vậy

{v_k} = {A_k}\exp ( - {(\frac{{k\pi a}}{l})^2}t)\sin \frac{{k\pi }}{l}x

v = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{A_k}\exp ( - {{(\frac{{k\pi a}}{l})}^2}t)\sin \frac{{k\pi }}{l}x}

v(x,0) = {\varphi ^*}(x)

\Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {{A_k}\sin \frac{{k\pi }}{l}x} = {\varphi ^*}(x)

(khai triển Taylor)

{A_k} = \frac{2}{l}\int\limits_0^l {{\varphi ^*}(x)\sin \frac{{k\pi }}{l}xdx}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: