Bài tập 9 trang 211 Sách Hình học vi phân

Tác giả

9.\gamma  là một đường song chính quy trong

$latex{E^3}$. Chứng minh

a) \gamma  là một đường tiệm cận của mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến chính của \gamma   ;

b)\gamma là một đường tiền trắc địa của mặt kẻ tạo bởi các trùng pháp tuyến của \gamma

Giải

a)

Tham số hóa của S

(u,v) \mapsto r(u,v) = \rho (u) + v\overrightarrow N (u)

trong đó u \mapsto \rho (u) là tham số hóa tự nhiên của cung

n \circ r = \frac{{r{'_u} \wedge r{'_v}}}{{\left\| {r{'_u} \wedge r{'_v}} \right\|}}

{r_u}' = \overrightarrow {\rho '} (u) + v\overrightarrow {N'} (u) = \overrightarrow T (u) + v( - k\overrightarrow T + \tau \overrightarrow B )

= (1 - kv)\overrightarrow T + \tau \overrightarrow B

{r_v}' = \overrightarrow N (u)

{r_u}' \wedge {r_v}' = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0 & v \\1 & 0 \\\end{array}} \right|\overrightarrow T

+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}}  v & {1 - kv} \\  0 & 0 \\  \end{array}} \right|\overrightarrow N

+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 - kv} & 0 \\  0 & 1 \\  \end{array}} \right|\overrightarrow B

= - v\tau \overrightarrow T + (1 - kv)\overrightarrow B

n \circ r = \frac{{r{'_u} \wedge r{'_v}}}{{\left\| {r{'_u} \wedge r{'_v}} \right\|}} = \frac{{ - v\tau \overrightarrow T + (1 - kv)\overrightarrow B }}{{\sqrt {{{( - v\tau )}^2} + {{(1 - kv)}^2}} }}

\overrightarrow {n \circ \rho } (u) = n \circ r(u,0) = \frac{{\overrightarrow B }}{{\sqrt 1 }} = \overrightarrow B (u)

(\overrightarrow {n \circ \rho } )'(u) = \overrightarrow B '(u) = - \tau \overrightarrow N (u)

\overrightarrow {n \circ \rho } .\overrightarrow {\rho '} = ( - \tau \overrightarrow N ).\overrightarrow T = 0

\Rightarrow (\overrightarrow {n \circ \rho } )' \bot \overrightarrow {\rho '}

Suy ra  \gamma

là một đường tiệm cận của S.

b) Tham số hóa của S

(u,v) \mapsto r(u,v) = \rho (u) + v\overrightarrow B (u)

trong đó u \mapsto \rho (u)  là tham số hóa tự nhiên của cung

{r_u}' = \overrightarrow {\rho '} (u) + v\overrightarrow {B'} (u) = \overrightarrow T (u) - v\tau \overrightarrow N

{r_v}' = \overrightarrow B (u)

{r_u}' \wedge {r_v}' = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}  { - v\tau } & 0 \\  0 & 1 \\  \end{array}} \right|\overrightarrow T

+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}}  0 & 1 \\  1 & 0 \\  \end{array}} \right|\overrightarrow N

+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}}  1 & { - v\tau } \\  0 & 0 \\  \end{array}} \right|\overrightarrow B

= - v\tau \overrightarrow T - \overrightarrow N

n \circ r = \frac{{r{'_u} \wedge r{'_v}}}{{\left\| {r{'_u} \wedge r{'_v}} \right\|}} = \frac{{ - v\tau \overrightarrow T - \overrightarrow N }}{{\sqrt {{{( - v\tau )}^2} + {1^2}} }}

\overrightarrow {n \circ \rho } (u) = n \circ r(u,0) = \frac{{0 - \overrightarrow N }}{{\sqrt {0 + 1} }} = - \overrightarrow N \,\,(1)

\overrightarrow {\rho '} = \overrightarrow T (u)

\Rightarrow \overrightarrow {\rho ''} = \overrightarrow {T'} (u) = k\overrightarrow N (2)

Từ (1) và (2)

\Rightarrow \overrightarrow {n \circ \rho } (u)||\overrightarrow {\rho ''}

Suy ra là một đường tiền trắc địa

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: