Đề thi đại học khối A năm 2010 câu 4 – Hình học không gian

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD;

H là giao điểm của CN và DM.

Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =

a\sqrt 3

Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Giải

Tính thể tích khối chóp S.CDNM

SCDNM= SABCD – SAMN – SBCM

= A{B^2} - \frac{1}{2}AM.AN - \frac{1}{2}BC.BM

= {a^2} - \frac{{{a^2}}}{8} - \frac{{{a^2}}}{4} = 5\frac{{{a^2}}}{8}

{V_{SCDNM}} = \frac{1}{3}{S_{CDNM}}.SH = \frac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}

Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC.

Xét hai tiam giác vuông ADM và DCN có

AD = DC (cạnh hình vuông)

AM = DN (nửa cạnh hình vuông)

\Rightarrow \Delta ADM = \Delta DCN

Suy ra góc ADM bằng góc DCN

Suy ra DM vuông góc với CN

Kết hợp DM vuông góc với SH, suy ra DM vuông góc với (SHC).

Hạ HK vuông góc với SC (K thuộc SC); suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.

Do đó d(DM, SC) = HK

Ta có

HC = \frac{{C{D^2}}}{{CN}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}

HK = \frac{{SH.HC}}{{\sqrt {S{H^2} + H{C^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt {19} }}

Vậy

d(DM,SC) = \frac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt {19} }}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: