Đề thi đại học khối A năm 2011 câu I – Khảo sát hàm số

Câu I

Cho hàm số

$y = \frac{{ - x + 1}}{{2x + 1}}\,(C)$

Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x+m luôn cắt đồ thị (C) của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A và B

Gọi k₁ và k₂ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B

Tìm m để tổng k₁ + k₂ đạt giá trị lớn nhất.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng d: y = x+m là:

$\frac{{ - x + 1}}{{2x + 1}}\, = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 2{x^2} + 2mx - m - 1\,(1)\\ x \ne \frac{1}{2} \end{array} \right.$

PT(1) có $\Delta ' = {(m + 1)^2} + 1 > 0,\forall m \in R$

và

$f(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}\ne 0$

nên PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác $\frac{1}{2}$ . Do đó d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thứ tự là x₁, x₂ và

${x_1} + {x_2}= - m;{x_1}{x_2}= -\frac{{m + 1}}{2}$

(theo định lí Viet).

$\Rightarrow {x^2}_1 + {x^2}_2 = {m^2} + m + 1$

Ta có:

${k _1} + {k_2}= -\frac{1}{{{{(2{x_1} - 1)}^2}}}-\frac{1}{{{{(2{x_2} - 1)}^2}}}$

$= -\frac{{4({x^2}_1 + {x^2}_2) - 4({x_1} + {x_2}) + 2}}{{{{(4{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1)}^2}}}$

$=-4{(m + 1)^2}-2$

Vậy ${k _1}+{k_2}$ đạt giá trị lớn nhất bằng -2 tại m = -1.

Nhận xét: Đây là bài tập cơ bản ứng dụng định lí Viet của pT bậc hai và hệ số góc tại ${x_0}$ là

$k = f'({x_0})$

Toán – Tin

Đề thi đại học khối A năm 2011 câu I – Khảo sát hàm số

Trả lời Hủy trả lời

Share this:

Like this:

Liên quan

Trả lời Hủy trả lời