Đề thi đại học khối A năm 2011 câu I – Khảo sát hàm số

Tác giả

Câu I

Cho hàm số

y = \frac{{ - x + 1}}{{2x + 1}}\,(C)

Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x+m luôn cắt đồ thị (C) của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A và B

Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B

Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng d: y = x+m là:

\frac{{ - x + 1}}{{2x + 1}}\, = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  f(x) = 2{x^2} + 2mx - m - 1\,(1)\\  x \ne \frac{1}{2}  \end{array} \right.

PT(1) có \Delta ' = {(m + 1)^2} + 1 > 0,\forall m \in R

f(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}\ne 0

nên PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác \frac{1}{2} . Do đó d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thứ tự là x1, x2

{x_1} + {x_2}= - m;{x_1}{x_2}= -\frac{{m + 1}}{2}

(theo định lí Viet).

\Rightarrow {x^2}_1 + {x^2}_2 = {m^2} + m + 1

Ta có:

{k _1} + {k_2}= -\frac{1}{{{{(2{x_1} - 1)}^2}}}-\frac{1}{{{{(2{x_2} - 1)}^2}}}

= -\frac{{4({x^2}_1 + {x^2}_2) - 4({x_1} + {x_2}) + 2}}{{{{(4{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1)}^2}}}

=-4{(m + 1)^2}-2

Vậy {k _1}+{k_2} đạt giá trị lớn nhất bằng -2 tại m = -1.

Nhận xét: Đây là bài tập cơ bản ứng dụng định lí Viet của pT bậc hai và hệ số góc tại {x_0}

k = f'({x_0})

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: