Bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng (phần 1)

Tác giả

Các mục trước đã xét bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng. Miền của không gian để xét bài toán này có thể coi như vô hạn. Như vậy, bài toán Cauchy phản ánh những bài toán truyền sóng trong môi trường vô hạn.

Tuy nhiên, trong thực tế có nhiều bài toán truyền sóng trong môi trường hữu hạn, tức là quy luật truyền sóng phụ thuộc vào chế độ biên của môi trường.

Trong mục này và các mục tiếp sau, ta đi nghiên cứu các dao động của sóng trong môi trường có biên. Cũng như trong các mục trước, ta coi vận tốc truyền sóng a =1.

Kí hiệu : \Omega  là miền bị chặn trong {R^n},

{Q_T} = \Omega \times (0,T),

{S_T} = \partial \Omega \times {\rm{[}}0,T{\rm{]}},

T = const > 0.

Xét trong miền {Q_T} = \Omega \times (0,T) phương trình:

\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = \Delta u + f(x,t) (4.1)

với các điều kiện ban đầu:

u{|_{t = 0}} = {\varphi _0}(x), (4.2)

\frac{{\partial u}}{{\partial t}}{|_{t = 0}} = {\varphi _1}(x), (4.3)

và điều kiện biên:

u{|_{{S_T}}} = {\psi _1} (4.4)

hoặc

\frac{{\partial u}}{{\partial \upsilon }}{|_{{S_T}}} = {\psi _2}, (4.5)

ở đó \upsilon

là pháp tuyến ngoài tới mặt ST

Bài toán (4.1)-(4.4) được gọi là bài toán biên ban đầu thứ nhất, còn bài toán (4.1)-(4.3) và điều kiện biên (4.5) được gọi là bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng. Đôi khi, người ta còn gọi chung là bài toán hỗn hợp.

Nghiệm của bài toán hỗn hợp là một

u \in {C^2}({\overline Q _T})

, thỏa mãn phương trình (4.1) và các điều kiện (4.2)-(4.4) hoặc các điều kiện (4.2), (4.3) và (4.5).

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: