Để giải bài toán hỗn hợp trong nhiều trường hợp người ta đã sử dụng phương pháp Fourier. Trong mục này ta áp dụng phương pháp này cho một trường hợp đặc biệt. Cụ thể, tìm nghiệm của phương trình:
(7.1)
thỏa mãn các điều kiện ban đầu:
(7.2)
(7.3)
và các điều kiện biên khi t>0:
u(0,t)=u(l,t)=0 (7.4)
Trước tiên, ta thử đi tìm nghiệm không tầm thường của phương trình (7.1) dưới dạng:
u(x,t) = X(x).T(t) (7.5)
thỏa mãn điều kiện biên (7.4), ở đây T(t) chỉ phụ thuộc vào t và X(x) chỉ phụ thuộc vào x. Thay vế phải của hệ thức (7.5) vào phương trình (7.1):
XT’’ =X’’T
hay:
Để nhận được nghiệm không tầm thường u(x,t) dạng (7.5) thỏa mãn các điều kiện biên (7.4), cần tìm nghiệm không tầm thường của phương trình (7.8) thỏa mãn các điều kiện biên:
X(0)= X(l)=0.
Các công thức cho nghiệm tổng quát của phương trình (7.8) phụ thuộc vào
hoặc
hoặc
Ta xét riêng từng trường hợp này:
Trường hợp . Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (7.8) được tìm dưới dạng:
Để các điều kiện biên (7.9) được thỏa mãn cần có:
Do đó cần có:
Đẳng thức sau cùng được thực hiện chỉ khi C1=0, điều này có nghĩa là C2 =0. Khi đó ta chỉ nhận được nghiệm tầm thường của phương trình (7.8).
Trường hợp
. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (7.8) có dạng:
Để X(0) = 0, cần có C1=0.
Khi đó, điều kiện X(l)= 0 trở thành C2l =0, tức là C2=0. Như vậy, cũng như trường hợp trước ta chỉ có nghiệm tầm thường của phương trình (7.8) là thỏa mãn các điều kiện biên (7.9).
Trường hợp
. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (7.8) có dạng
Để thõa mãn điều kiện biên X(0)=0, cần có C1=0. Khi đó, điều kiện X(l)=0 có dạng:
(7.10)
Nếu C2=0 thì ta chỉ tìm được nghiệm tầm thường của (7.8). Do vậy cần chọn
. Khi đó (7.10) được viết lại:
ở đó k là một số nguyên nào đó.
Bởi vì ta giả thiết , nên k không thể bằng không. Với các giá trị k<0 đại lượng
nhận các giá trị như với các giá trị k>0 (có cùng đại lượng giá trị tuyệt đối). Bởi vậy, tất cả các giá trị
mà phương trình (7.8) có nghiệm không tầm thường thỏa mãn (7.9) là:
Các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng (7.11) được viết dưới dạng:
Các hàm riêng của phương trình thuần nhất (7.8) được xác định sai khác một nhân tử là hằng số Ck. Bởi vậy, ta có thể coi rằng;
Khi đó:
Bây giờ, ta trở lại trong phương trình (7.7) bằng giá trị
được cho trong (7.11):
Từ đó ta nhận được:
trong đó Ak và Bk là các hằng số tùy ý.
Tất cả các hàm:
đều thỏa mãn phương trình (7.1) và các điều kiện biên (7.4) với bất kì Ak và Bk.
Ta thử đi xác định các hằng số này để chuỗi vô hạn
thỏa mãn cả phương trình (7.1), cả các điều kiện biên (7.4) và cả các điều kiện ban đầu (7.2), (7.3)
Ta bắt đầu với các điều kiện ban đầu (7.2) và (7.3). Trước hết cần có:
Ngoải ra nếu chuỗi có thể lấy được vi phân từng số hạng cần:
Ta giả sử rằng các hàm và
có thể khai triển được thành chuỗi theo trên đoạn [0,1], sao cho chuỗi mô đun các số hạng của chúng là hội tụ đều
Khi đó các hệ số Ak và Bk được xác định bởi công thức:
Trả lời