Bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng (phần 2)

Để giải bài toán hỗn hợp trong nhiều trường hợp người ta đã sử dụng phương pháp Fourier. Trong mục này ta áp dụng phương pháp này cho một trường hợp đặc biệt. Cụ thể, tìm nghiệm của phương trình:

$\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}$ (7.1)

thỏa mãn các điều kiện ban đầu:

$u(x,0) = {\varphi _0}(x),0 \le x \le 1$ (7.2)

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x,0) = {\varphi _1}(x),0 \le x \le 1$ (7.3)

và các điều kiện biên khi t>0:

u(0,t)=u(l,t)=0 (7.4)

Trước tiên, ta thử đi tìm nghiệm không tầm thường của phương trình (7.1) dưới dạng:

u(x,t) = X(x).T(t) (7.5)

thỏa mãn điều kiện biên (7.4), ở đây T(t) chỉ phụ thuộc vào t và X(x) chỉ phụ thuộc vào x. Thay vế phải của hệ thức (7.5) vào phương trình (7.1):

XT’’ =X’’T

hay:

$\frac{{T'}}{T} = \frac{{X''}}{X} = - \lambda \,\,\,(c{\rm{ons}}t)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} X'' + \lambda X' = 0\,(7.7) \\ T' + \lambda {a^2}T = 0\,(7.8) \\ \end{array} \right.$

Để nhận được nghiệm không tầm thường u(x,t) dạng (7.5) thỏa mãn các điều kiện biên (7.4), cần tìm nghiệm không tầm thường của phương trình (7.8) thỏa mãn các điều kiện biên:

X(0)= X(l)=0.

Các công thức cho nghiệm tổng quát của phương trình (7.8) phụ thuộc vào

$\lambda < 0$ hoặc $\lambda = 0$ hoặc $\lambda > 0$

Ta xét riêng từng trường hợp này:

Trường hợp $\lambda < 0$ . Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (7.8) được tìm dưới dạng:

$X(x) = {C_1}{e^{\sqrt { - \lambda } x}} + {C_2}{e^{ - \sqrt { - \lambda } x}}$

Để các điều kiện biên (7.9) được thỏa mãn cần có:

${C_1} + {C_2} = 0,{C_1}{e^{\sqrt { - \lambda } l}} + {C_2}{e^{ - \sqrt { - \lambda } l}} = 0$

Do đó cần có:

${C_1}{e^{\sqrt { - \lambda } l}} = {C_1}{e^{ - \sqrt { - \lambda } l}}$

Đẳng thức sau cùng được thực hiện chỉ khi C₁=0, điều này có nghĩa là C₂ =0. Khi đó ta chỉ nhận được nghiệm tầm thường của phương trình (7.8).

Trường hợp $\lambda = 0$

. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (7.8) có dạng:

$X(x) = {C_1} + {C_2}x$

Để X(0) = 0, cần có C₁=0.

Khi đó, điều kiện X(l)= 0 trở thành C₂l =0, tức là C₂=0. Như vậy, cũng như trường hợp trước ta chỉ có nghiệm tầm thường của phương trình (7.8) là thỏa mãn các điều kiện biên (7.9).

Trường hợp $\lambda > 0$

. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (7.8) có dạng

$X(x) = {C_1}c{\rm{os}}\sqrt \lambda x + {C_2}\sin \sqrt \lambda x$

Để thõa mãn điều kiện biên X(0)=0, cần có C₁=0. Khi đó, điều kiện X(l)=0 có dạng:

${C_2}\sin \sqrt \lambda l = 0$ (7.10)

Nếu C₂=0 thì ta chỉ tìm được nghiệm tầm thường của (7.8). Do vậy cần chọn ${C_2} \ne 0$

. Khi đó (7.10) được viết lại:

$\sin \sqrt \lambda l = 0 \Leftrightarrow \sqrt \lambda l = k\pi \Leftrightarrow \lambda = {(\frac{{k\pi }}{l})^2}$

ở đó k là một số nguyên nào đó.

Bởi vì ta giả thiết $\lambda > 0$ , nên k không thể bằng không. Với các giá trị k<0 đại lượng

$\lambda$ nhận các giá trị như với các giá trị k>0 (có cùng đại lượng giá trị tuyệt đối). Bởi vậy, tất cả các giá trị $\lambda$ mà phương trình (7.8) có nghiệm không tầm thường thỏa mãn (7.9) là:

${\lambda _k} = {(\frac{{k\pi }}{l})^2},k = 1,2,3,...\,(7.11)$

Các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng (7.11) được viết dưới dạng:

${X_k}(x) = {C_k}\sin \frac{{k\pi }}{l}x$

Các hàm riêng của phương trình thuần nhất (7.8) được xác định sai khác một nhân tử là hằng số C_k. Bởi vậy, ta có thể coi rằng;

$\int\limits_0^l {{X^2}_k(x)} dx = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^l {{C^2}_k\frac{{(1 - c{\rm{os}}\frac{{2k\pi }}{l}x)}}{2}} dx = 1$

$\Leftrightarrow \frac{{{C^2}_k}}{2}(x - \frac{{\sin \frac{{2k\pi }}{l}x}}{{\frac{{2k\pi }}{l}}})\mathop |\nolimits_0^l = 1$

$\Leftrightarrow \frac{{{C^2}_k}}{2}(l - \frac{{\sin \frac{{2k\pi }}{l}l}}{{\frac{{2k\pi }}{l}}}) = 1$

$\Leftrightarrow {C_k} = \sqrt {\frac{2}{l}}$

Khi đó:

${X_k}(x) = \sqrt {\frac{2}{l}} \sin \frac{{k\pi }}{l}x(7.12)$

Bây giờ, ta trở lại $\lambda$ trong phương trình (7.7) bằng giá trị ${\lambda _k}$

được cho trong (7.11):

$T'' + \frac{{{k^2}{\pi ^2}}}{{{l^2}}}T = 0$

Từ đó ta nhận được:

${T_k}(t) = {A_k}c{\rm{os}}\frac{{k\pi }}{l}t + {B_k}\sin \frac{{k\pi }}{l}t$

trong đó A_k và B_k là các hằng số tùy ý.

Tất cả các hàm:

${u_k}(x,t) = {X_k}(x){T_k}(t) = \sqrt {\frac{2}{l}} \sin \frac{{k\pi }}{l}x({A_k}c{\rm{os}}\frac{{k\pi }}{l}t + {B_k}\sin \frac{{k\pi }}{l}t)$

đều thỏa mãn phương trình (7.1) và các điều kiện biên (7.4) với bất kì A_k và B_k.

Ta thử đi xác định các hằng số này để chuỗi vô hạn

$u(x,t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\sqrt {\frac{2}{l}} \sin \frac{{k\pi }}{l}x({A_k}c{\rm{os}}\frac{{k\pi }}{l}t + {B_k}\sin \frac{{k\pi }}{l}t)} (7.10)$

thỏa mãn cả phương trình (7.1), cả các điều kiện biên (7.4) và cả các điều kiện ban đầu (7.2), (7.3)

Ta bắt đầu với các điều kiện ban đầu (7.2) và (7.3). Trước hết cần có:

$u(x,0) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{A_k}\sqrt {\frac{2}{l}} \sin \frac{{k\pi }}{l}x = {\varphi _o}(x)(7.14)}$

Ngoải ra nếu chuỗi có thể lấy được vi phân từng số hạng cần:

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x,0) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{k\pi }}{l}{B_k}\sqrt {\frac{2}{l}} \sin \frac{{k\pi }}{l}x = {\varphi _1}(x)(7.15)}$