Chứng minh mệnh đề 1 tương đương với tiên đề 5

· Hình học sơ cấp

Tiên đề 5.

Qua mỗi điểm A không thuộc đường thẳng a có không quá một đường thẳng nằm trong mp(A,a) và không cắt a.

Chứng minh rằng các mệnh đề sau tương đương với tiên đề 5

Hình học tuyệt đối cộng với 5 suy ra M

Hình học tuyệt đối công với M suy ra 5

1. Định đề 5 của Euclid

Nếu một cát tuyến tạo với 2 đường thẳng đã cho hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 2v thì 2 đường thẳng đó phải cắt nhau về phía có hai góc trong nói trên.

Chứng minh tiên đề 5 suy ra mệnh đề 1.

Giả sử cát tuyến c tạo với 2 đường thẳng a và b hai góc trong cùng phía sao cho u+v<2v

Chứng minh a cắt b về phía có 2 góc u và v.

Giả sử a không cắt b

Suy ra u bằng v1 (hai góc so le trong)

Mà v+v1=1800

Suy ra v+u=1800

(điều này mâu thuẫn với giả thiết)

Suy ra a phải cắt b

Giả sử a cắt b về phía ngược lại

Gọi C’ là giao của a và b

Ta có: u > v1 (vì u là góc ngoài của tam giác C’AB tại B)

Suy ra u + v > v1 + v = 1800 (1)

Mà u + v < 1800 (theo giả thiết) (2)

Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn

Chứng minh mệnh đề 1 suy ra tiên đề 5

Gọi b là đường thẳng qua A và vuông góc với a tại H

Gọi a’ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với b

Theo hình học tuyệt đối (suy ra từ định lí 7) thì a’ không cắt a

Giả sử a’’ là đường thẳng đi qua A, a’’ khác a’ và a’’ không cắt a.

Khi đó tồn tại góc

H{\rm{Aa}}'' = \alpha < 1v

Xét hai đường thẳng a và a’’ và cát tuyến b.

Khi đó, b tạo với a, a’’ 2 góc trong cùng phái là H và \alpha

{H} + \alpha = {90^0} + \alpha < {90^0} + {90^0} = {180^0} = 2v

Theo mệnh đề 1, hai đường thẳng a’’ và a phải cắt nhau

Điều này mâu thuẫn với giả sử.

Vậy giả sử là sai.

Suy ra điều phải chứng minh.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: