Một số dạng toán thường gặp về số phức (phần 4)

· Chuyên đề tự chọn, Số phức

4. Giải phương trình trong tập hợp số phức

Tìm số phức z thỏa mãn một hệ thức cho trước (không phải là một phương trình bậc nhất hoặc bậc hai thông thường)

Cách giải.

Giả sử z = x+ yi; biến đổi hệ thức trong đầu bài về dạng A + Bi =0; ta được hệ phương trình A = 0 và B = 0; từ đó tìm được x, y và suy ra z.

Thí dụ 8. Tìm số phức z thỏa mãn:

{z^2} = (1 + i)\overline z + 11i

Lời giải:

Giả sử z = x+ yi, thay vào phương trình, ta được:

{(x + yi)^2} = (1 + i)(x - yi) + 11i, hay:

{x^2} - {y^2} + 2xyi = x + y + (x - y + 11)i

suy ra:

\left\{ \begin{array}{l}  {x^2} - {y^2} - x + y \\  2xy = x - y + 11 \\  \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  (x + y)(x - y - 1) = 0 \\  2xy = x - y + 11. \\  \end{array} \right.

Giải hệ ta được (x;y) = (3;2),

(x;y)=(-2;-3).

Vậy z = 3+2i hoặc z = -2 –3i

Giải phương trình bậc ba f(z) = 0 biết rằng phương trình có một nghiệm thực.

Cách giải. Giả sử PT có nghiệm thực là z= a; ta được f(a) = 0; biến đổi hệ thức trên về dạng A+Bi =0 ta được hệ PT A = 0 và B =0; từ đó tìm được a. Phường trình f(z) =0 có thể phân tích thành (z-a)(Mz2+ Nz + K)=0.

Nếu PT  có nghiệm thuần ảo z = bi, b thuộc R, b khác 0 thì cách giải hoàn toàn tương tự.

Thí dụ 9. Giải phương trình

{z^3} - (3 - i){z^2} - (2 - i)z + 16 - 2i = 0

biết rằng phương trình có một nghiệm thực.

Cách giải:

Với z thuộc R, PT tương đương với:

{z^3} - 3{z^2} - 2z + 16 + ({z^2} + z - 2)i = 0

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  {z^3} - 3{z^2} - 2z + 16 = 0 \\  {z^2} + z - 2 = 0 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow z = - 2

PT trong đầu bài có thể phân tích thành:

(z + 2)({z^2} - (5 - i)z + 8 - i) = 0

Tìm được các nghiệm của PT là z =-2; z = 2+i ; z = 3-2i.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: