Giải bài toán biên của pt (E ) bằng phương pháp Fourier (phần 1)

(Phương pháp tách biến)

I. Bài toán (D) trong hình tròn

\left\{ \begin{array}{l}  {u_{xx}} + {u_{yy}} = 0\,\,{x^2} + {y^2} < 1 \\  u{|_{{x^2} + {y^2} = 1}} = F(x,y)\,\,(x,y) \in \partial \Omega \\  \end{array} \right.

Đổi biến số tọa độ cực

\left\{ \begin{array}{l}  x = r\cos \varphi \\  y = r\sin \varphi \\  \end{array} \right.0 \le r < 1

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}  {u_{rr}} + \frac{1}{r}{u_r} + \frac{1}{{{r^2}}}{u_{\varphi \varphi }} = 0(3) \\  u{|_{r = 1}} = F(c{\rm{os}}\varphi ,\sin \varphi ) = g(\varphi )(4) \\  \end{array} \right.

Tìm nghiệm có dạng:

u(r,\varphi ) = R(r).\phi (\varphi )

Thay vào (3) (4)

R''(r)\phi (\varphi ) + \frac{1}{r}R'(r)\phi (\varphi ) + \frac{1}{{{r^2}}}R(r)\phi ''(\varphi ) = 0

\Leftrightarrow \phi (R'' + \frac{1}{r}R') = - \frac{1}{{{r^2}}}R\phi ''

\Leftrightarrow \frac{{(R'' + \frac{1}{r}R')}}{{\frac{1}{{{r^2}}}R}} = \frac{{ - \phi ''}}{\phi } = \lambda = c{\rm{ons}}t

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  \phi '' + \lambda \phi = 0\,(5) \\  R'' + \frac{1}{r}R' - \frac{1}{{{r^2}}}R\lambda = 0\,(6) \\  \end{array} \right.

Giải (5) để tìm ra

\phi '' + \lambda \phi = 0\,(5)

Phương trình đặc trưng:

{k^2} + \lambda = 0\, \Leftrightarrow {k^2} = - \lambda

Trường hợp 1:

\lambda < 0 \Rightarrow - \lambda > 0 \Rightarrow k = \pm \sqrt { - \lambda }

\phi (x) = {C_1}{e^{\sqrt { - \lambda } \varphi }} + {C_2}{e^{ - \sqrt { - \lambda } \varphi }}

Từ (4) suy ra:

u{|_{r = 1}} = F(c{\rm{os}}\varphi ,\sin \varphi ) tuần hoàn

Suy ra:

R(1).\phi (\varphi ) là hàm tuần hoàn.

\phi (\varphi + 2\pi ) = \phi (\varphi )

Suy ra

\phi (\varphi ) là hàm tuần hoàn chu kỳ  2\pi

Trường hợp \lambda < 0 không thỏa mãn vì nghiệm không tuần hoàn.

Trường hợp 2: \lambda = 0 \Rightarrow k = 0 (bội 2)

\Rightarrow \phi (\varphi ) = {C_1} + {C_2}\varphi

Không tuần hoàn Suy ra không thỏa mãn

Trường hợp 3:

\lambda > 0 \Rightarrow k = \pm i\sqrt \lambda

\Rightarrow \phi (\varphi ) = {C_1}c{\rm{os}}\sqrt \lambda \varphi + {C_2}\sin \sqrt \lambda \varphi

\Rightarrow \phi (0) = {C_1}

\phi (2\pi ) = {C_1}c{\rm{os}}\sqrt \lambda 2\pi + {C_2}\sin \sqrt \lambda 2\pi

{C_1} = {C_1}c{\rm{os}}\sqrt \lambda 2\pi + {C_2}\sin \sqrt \lambda 2\pi

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}  c{\rm{os}}\sqrt \lambda 2\pi = 1 \\  \sin \sqrt \lambda 2\pi = 0 \\  \end{array} \right.

\Rightarrow c{\rm{os}}\sqrt \lambda 2\pi = 1 \Leftrightarrow \sqrt \lambda 2\pi = m2\pi \Rightarrow \lambda = {m^2} là số chính phương.

\Rightarrow \phi (\varphi ) = {C_1}c{\rm{osm}}\varphi + {C_2}\sin m\varphi ,m > 0

Tính R.

R'' + \frac{1}{r}R' - \frac{1}{{{r^2}}}R{m^2} = 0\,

\Leftrightarrow {r^2}R'' + rR' - {m^2}R = 0\,

Phương trình Euler:

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}  R = {r^m} \\  R = {r^{ - m}}(L) \\  \end{array} \right.

\Rightarrow R = {r^m}

\Rightarrow \phi (\varphi ) = {C_{1m}}c{\rm{osm}}\varphi + {C_{2m}}\sin m\varphi ,m > 0

\Rightarrow {u_m}(r,\varphi ) = {r^m}({C_{1m}}c{\rm{osm}}\varphi + {C_{2m}}\sin m\varphi )\,

Nghiệm tổng quát của phương trình Laplace:

\Rightarrow u(r,\varphi ) = C + \sum\limits_{m = 1}^\infty {{u_m}(r,\varphi )} = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{m = 1}^\infty {{r^m}({a_m}c{\rm{osm}}\varphi + {b_m}\sin m\varphi )\,}

Thay vào điều kiện (4):

u{|_{r = 1}} = g(\varphi ) \Leftrightarrow \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{m = 1}^\infty {({a_m}c{\rm{osm}}\varphi + {b_m}\sin m\varphi )\,} = g(\varphi )

\Rightarrow {a_0} = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {g(\varphi )d\varphi }

{a_m} = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {g(\varphi )\cos m\varphi d\varphi }

{b_m} = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {g(\varphi )\sin m\varphi d\varphi }

(Chuỗi Fourier)

 

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: