Kiểm tra điều kiện hình học sơ cấp

· Hình học sơ cấp

Câu 1 Từ các tiên đề 1, 2, 3 của hình học tuyệt đối.

Chứng minh rằng:

a. trong một mặt phẳng có 1 và chỉ 1 đường thẳng đi qua điểm A cho trước và vuông góc với 1 đường thẳng a cho trước

b.tổng các góc trong của một tam giác ko vượt quá hai lần góc vuông

Câu 2: Cm tiên đề Euclid tương đương mệnh đề sau: với bất kỳ 3 điểm nào ko thẳng hàng cũng có 1 đường tròn đi qua

Câu 3. Phát biểu ko cminh 4 định lý của hình học phẳng Lovoshépky

Câu 4. Trong ko gian cho tứ diện ABCD, cm tồn tại 1 điểm I trong tứ diện scho mọi đường thẳng đi qua I cắt tứ diện tại 2 điểm P, Q scho 3> IP/IQ >1/3

Giải.

Câu 1b.

Xét tam giác ABC.

Lấy trung điểm I của AC và điểm D đối xứng với B qua I.

Ta có tam giác IAB bằng tam giác ICD (theo trường hợp c.g.c)

Giả sử tổng các góc trong của tam giác ABC bằng:

{180^0} + \alpha \,(\alpha > 0)

thì tổng  các góc trong của tam giác BCD cũng bằng

{180^0} + \alpha \,(\alpha > 0)

(do góc A = D, góc ABD bằng góc ACD)

Vậy góc A + B + C = (C + ACD + DCx) +\alpha \,

Vì góc A = ACD

nên góc B = DCx +\alpha \,

Suy ra góc B > \alpha \,

Lại áp dụng vào tam giác BCD ta được góc B2\alpha \,

Ta chọn góc {B_2} bằng góc B/2

Tiếp tục quá trình đó, với mỗi số tự nhiên n, ta có:

Góc \frac{B}{{{2^n}}} > \alpha

. Điều đó là vô lý vì góc \frac{B}{{{2^n}}} có thể nhỏ tùy ý.

Do vậy giả sử là sai.

Điều phải chứng minh.

Câu 3 (Câu này em không chắc đâu nhé)

Định lí 1. Trong một tam giác, tổng của 3 góc luôn nhỏ hơn 180 độ

Định lí 2. Góc nội tiếp của một đường tròn nhỏ hơn 1/2 góc ở tâm chắn một cung.

Định lí 3. Hai đường thẳng song song tạo với một cát tuyến bất kì hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 2 vuông.

Định lí 4. Nếu hai tam giác có 3 góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

Câu 4.

Xét  \phi  là tập lồi compact ABCD.

Vỡi mỗi M \in \phi

, đặt:

{\phi _M} = \mathop V\nolimits_M^\lambda (\phi )

(phép vị tự)

trong đó:

\lambda = \frac{k}{{k + 1}}

Xét họ

F = {{\rm{\{ }}{\phi _M}{\rm{\} }}_{M \in \phi }}

Ta có:

+)  {\phi _M} là tập lồi , \forall M \in \phi

+) Chiều của {\phi _M} :

\dim {\phi _M} = \dim \phi = 3

+ ) Chứng minh giao của 4 hình

{\phi _{{M_1}}},...,{\phi _{{M_4}}}

đều khác rỗng.

Thật vậy:

Gọi G là trọng tâm của hệ 4 điểm M1,….,M4.

Ta sẽ chứng minh:

G \in {\phi _{{M_1}}} \cap .... \cap {\phi _{{M_4}}}(hay{\phi _{{M_1}}} \cap .... \cap {\phi _{{M_4}}} \ne \emptyset )

Không mất tính tổng quát, ta chứng minh

G \in {\phi _{{M_1}}}

Thật vậy, vì G là trọng tâm của M1,….,M4.

nên:

\sum\limits_{i = 1}^4 {\overrightarrow {G{M_i}} = \overrightarrow 0 }

\Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^4 {(\overrightarrow {{M_1}{M_i}} - \overrightarrow {{M_1}G} ) = \overrightarrow 0 }

\Leftrightarrow (\overrightarrow {{M_1}{M_2}} + \overrightarrow {{M_1}{M_3}} + \overrightarrow {{M_1}{M_4}} ) - 4\overrightarrow {{M_1}G} = \overrightarrow 0

\Leftrightarrow (\overrightarrow {{G_1}{M_2}} + \overrightarrow {{G_1}{M_3}} + \overrightarrow {{G_1}{M_4}} - 3\overrightarrow {{G_1}{M_1}} ) - 4\overrightarrow {{M_1}G} = \overrightarrow 0

\Leftrightarrow \overrightarrow {{M_1}G} = \frac{3}{4}\overrightarrow {{M_1}{G_1}}

\Leftrightarrow \overrightarrow {{M_1}G} = \frac{3}{4}\overrightarrow {{M_1}{G_1}}

\Rightarrow G = \mathop V\nolimits_{{M_1}}^\lambda ({G_1}) \Rightarrow G \in {\phi _{{M_1}}}

\Rightarrow G \in {\phi _{{M_i}}}\forall i = \overline {1,4}


Vậy theo định lí Helly,

\exists I \in \mathop \cap \limits_{M \in \phi } {\phi _M}( \ne \emptyset )

Gọi d là đường thẳng bất kì qua I và

d \cap \phi = {\rm{[}}PQ]

I \in {\phi _P}

nên

\exists C' \in \phi

sao cho:

I = \mathop V\nolimits_P^\lambda (C')

(dễ thấy C’ thuộc [PQ])

I \in {\phi _{C'}}

nên suy ra:

\overrightarrow {PI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {PC';}

PI = \frac{3}{4}PC' \le \frac{3}{4}PQ = \frac{3}{4}(IP + IQ)

\Rightarrow \frac{{IP}}{{IQ}} \le 3

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: