Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian (phần 1)

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên các đoạn thẳng BD và AD’ sao cho DM = AN.

a) Xác định vị trí của hai điểm M, N để MN nhỏ nhất. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và AD’.

b) Chứng minh rằng MN vuông góc với một đường thẳng cố định.

Lời giải.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng điểm A, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng các tia AB, AD, AA’.

Giả sử cạnh hình lập phương có độ dài bằng a.

Đặt AN = DM = t

0 \le t \le a\sqrt 2

rsz_phuongphaptoado

Khi đó ta có:

A ( 0;0;0)

B(a;0;0)

D(0;a;0)

D’(0;a;a)

M(\frac{t}{{\sqrt 2 }};a - \frac{t}{{\sqrt 2 }};0),N(0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }})

Do đó:

\overrightarrow {MN} ( - \frac{t}{{\sqrt 2 }};t\sqrt 2 - a;\frac{t}{{\sqrt 2 }})

Ta có:

M{N^2} = {( - \frac{t}{{\sqrt 2 }})^2} + {(t\sqrt 2 - a)^2} + {(\frac{t}{{\sqrt 2 }})^2}

M{N^2} = 3{t^2} - 2\sqrt 2 at + {a^2}

Xét hàm số:

f(t) = 3{t^2} - 2\sqrt 2 at + {a^2}

Hàm số này có đồ thị là một parabol quay bề lõm lên phía trên. Do đó f(t) nhỏ nhất khi và chỉ khi

t = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}

\frac{{a\sqrt 2 }}{3} \in {\rm{[}}0,a\sqrt 2 {\rm{]}}

nên MN nhỏ nhất khi

t = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}

khi và chỉ khi M, N thuộc đoạn BD, AD’ tương ứng sao cho DM = 1/3 BD, An = 1/3 AD’

Khi MN nhỏ nhất ta có: t = \frac{{a\sqrt 2 }}{3} nên

\overrightarrow {MN} = (\frac{{ - a}}{3};\frac{{ - a}}{3};\frac{a}{3})

Mặt khác:

\overrightarrow {BD} = ( - a;a;0),\overrightarrow {AD'} = (0;a;a) nên:

\overrightarrow {MN} \overrightarrow {BD} = (\frac{{ - a}}{3})( - a) + (\frac{{ - a}}{3})(a) + (\frac{a}{3})(0) = 0,

\overrightarrow {MN} \overrightarrow {AD'} = (\frac{{ - a}}{3})(0) + (\frac{{ - a}}{3})(a) + (\frac{a}{3})(a) = 0,

Vậy MN vuông góc với BD và AD’

rsz_phuongphaptoado

b) Trước hết ta tìm phương

\overrightarrow \alpha (x;y;z) \ne \overrightarrow 0

vuông góc với vecto \overrightarrow {MN}

. Điều đó tương đương với:

\overrightarrow \alpha .\overrightarrow {MN} = 0\forall t \in {\rm{[}}0;a\sqrt 2 {\rm{]}}

\Leftrightarrow x( - \frac{t}{{\sqrt 2 }}) + y(t\sqrt 2 - a) + z(\frac{t}{{\sqrt 2 }}) = 0\,\forall t \in {\rm{[}}0;a\sqrt 2 {\rm{]}}

\Leftrightarrow (\frac{{ - x}}{{\sqrt 2 }} + y\sqrt 2 + \frac{z}{{\sqrt 2 }})t - ya = 0\,\forall t \in {\rm{[}}0;a\sqrt 2 {\rm{]}}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  - \frac{x}{{\sqrt 2 }} + y\sqrt 2 + \frac{z}{{\sqrt 2 }} = 0 \\  ya = 0 \\  \end{array} \right.

Chọn

\overrightarrow \alpha (1;0;1)

Vậy MN vuông góc với đường thẳng cố định nhận

\overrightarrow \alpha (1;0;1)

làm vecto chỉ phương.

Chú ý Ta có kết luận tương tự là MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: