Bài tập 1.17. Hãy tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau trên mỗi miền elliptic, hyperbolic, hay parabolic:

1.17. Hãy tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau trên mỗi miền elliptic, hyperbolic, hay parabolic:

c){u_{xx}} - 2\sin x{u_{xy}} - {\cos ^2}x\,{u_{yy}} - \cos x\,{u_y} = 0

Phương trình vi phân đặc trưng:

{(y')^2} + 2\sin x\,y' - {\cos ^2}x = 0
y’ = -sinx – 1, dy = -(sinx +1) dx, x – cosx +y = C­1

y’=-sin+1, dy = (-sinx +1) dx, x + cosx – y = C2.

Đổi biến:

\xi = x -\cos x + y,\eta = x +\cos x - y
{u_x} = (1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}){u_\xi } + (1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}){u_\eta }

{u_y} = {u_\xi } - {u_\eta }

{u_{xx}} = \cos x{u_\xi } + {(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})^2}{u_{\xi \xi }} + {\cos ^2}x{u_{\xi \eta }}

- \cos x{u_\eta } + {(1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})^2}{u_{\eta \eta }} + {\cos ^2}x{u_{\eta \xi }}

= {(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})^2}{u_{\xi \xi }} + 2{\cos ^2}x{u_{\xi \eta }} + {(1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})^2}{u_{\eta \eta }} + \cos x({u_\xi } - {u_\eta })

{u_{xy}} = (1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}){u_{\xi \xi }} - 2\sin x{u_{\xi \eta }} - (1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}){u_{\eta \eta }}

{u_{yy}} = {u_{\xi \xi }} - 2{u_{\xi \eta }} + {u_{\eta \eta }}
Ta thu được phương trình:

4{u_{\xi \eta }} = 0

Do đó ta có

u = f(\xi ) + g(\eta )
hay :

u(x,y)=f(x-cosx+y) + g(x+cosx-y)

8 phản hồi

Comments RSS
  1. dang hong van

    e co bai toan sau muon nho a gjup do :
    Tim mien hypebolic , parabolic va eliptic cua phuong trinh:
    U’’xx – y U’’yy + (1/2y)U’y = 0
    Dua phuong trinh ve dang chinh tac trong mien hupebolic

    • dangtrungkien

      Mình xin lỗi dang hong van. Mình cũng bình thường thui nên khó có thể giải quyết bài toán của bạn. Nhưng mình nghĩ bài toán này hoàn toàn có thể làm được. Chúc bạn có thể sớm nghĩ ra. Mong bạn thông cảm vì các bài viết mình chỉ có thể viết vào lúc nhàn rỗi.
      Chúc bạn thành công !

  2. dang hong van

    ban co the giải thích cho m cách tính Uxx, Uyy, Uxy trong bài trên đươcj không?

    • dangtrungkien

      u xx là đạo hàm theo biến x trước, được hàm số mới lại đạo hàm theo biến x, khi đó y đóng vai trò là hằng số u xy là đạo hàm theo biến x trước, khi đó y đóng vai trò là hằng số, được hàm số mới lại đạo hàm theo biến y, khi đó x đóng vai trò là hằng số u yy là đạo hàm theo biến y trươc,được hàm số mới lại đạo hàm theo biến y, khi đó x đóng vai trò là hằng số

  3. dang hong van

    cam on ban nhieu nhe> mjh da tim duoc cau tra loi roi
    bai viet nay cua ban co y nghia rat lon doi voi minh

  4. dang hong van

    bạn ah. đối với bài toán mà đề bài yêu cầu đưa pt về dạng chính tắc mà trong DENTA chứa tham số (ví dụ: x hoặc y) thì có phải xét : DENTA>0 , DENTA=0, DENTA <0 không?
    rồi trong mỗi miền có một dạng pt chính tắc khác nhau ah?

    • dangtrungkien

      theo tớ thì có phải xét. Nhưng thường người ta sẽ cho dễ dàng để cậu có thể phân chia được trường hợp. Khi đó, ứng với những trường hợp khác nhau của DENTA sẽ có một dạng chính tắc khác nhau, đó là điều đương nhiên.
      Với trường hợp DENTA âm, có khả năng cậu sẽ phải làm việc với nghiệm phức, mình sẽ cố gắng up một ví dụ liên quan đến nghiệm phức
      Còn trường hợp DENTA lớn hơn hoặc bằng 0, điều này dễ dàng hơn nhiều.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: