Điểm rơi trong đánh giá từ GM sang AM (phần 2)

· Bất đẳng thức

Bài 1. Cho

\left\{ \begin{array}{l}  a + b + c \ge 0\\  a + b + c = 1  \end{array} \right.

Tìm GNLN của

S = \sqrt[3]{{a + b}} + \sqrt[3]{{b + c}} + \sqrt[3]{{c + a}}

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Sai lầm thường gặp:

\left\{ \begin{array}{l}  \sqrt[3]{{a + b}} = \sqrt[3]{{(a + b).1.1}} \le \frac{{a + b + 1 + 1}}{3}\\  \sqrt[3]{{b + c}} = ...... \le \frac{{b + c + 1 + 1}}{3}\\  \sqrt[3]{{c + a}} = ..... \le \frac{{c + a + 1 + 1}}{3}  \end{array} \right.

\Rightarrow S = \frac{{2(a + b + c) + 6}}{3} = \frac{8}{3} \Rightarrow M{\rm{ax}}S = \frac{8}{3}

Nguyên nhân sai lầm:

M{\rm{ax}}S = \frac{8}{3}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  a + b = 1\\  b + c = 1\\  c + a = 1  \end{array} \right. \Rightarrow 2(a + b + c) = 3 \Leftrightarrow 2 = 3

suy ra vô lý

Dự đoán và tìm điểm rơi của Max S

Vì S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên Max S đạt tại điều kiện:

\left\{ \begin{array}{l}  a = b = c\\  a + b + c = 1  \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}

\Leftrightarrow a + b = b + c = c + a = \frac{2}{3}

Lời giải:

Sử dụng biến đổi và bất đẳng thức AM – GM ta có:

\left\{ \begin{array}{l}  \sqrt[3]{{a + b}} = \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}\sqrt[3]{{(a + b).\frac{2}{3}\frac{2}{3}}} \le \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}\,\,\frac{{(a + b) + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}{3}\\  \sqrt[3]{{b + c}} = \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}\sqrt[3]{{(b + c).\frac{2}{3}\frac{2}{3}}} \le \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}\,\,\frac{{(b + c) + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}{3}\\  \sqrt[3]{{c + a}} = \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}\sqrt[3]{{(c + a).\frac{2}{3}\frac{2}{3}}} \le \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}\,\,\frac{{(c + a) + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}{3}  \end{array} \right.

Suy ra

S =\sqrt[3]{{a + b}} + \sqrt[3]{{b + c}} + \sqrt[3]{{c + a}} \le \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}\,\,\frac{{2(a + b + c) + 4}}{3} \le \sqrt[3]{{\frac{9}{4}}}\frac{6}{3} = \sqrt[3]{{18}}

Với

a + b = b + c = c + a = \frac{2}{3} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}

max S =

\sqrt[3]{{18}}

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: