Định lí về không gian Topo compact (phần 2)

· Không gian Metric

Định lí 2. Nếu X là không gian Haussdorff

A \subset X

, A là compact

Thì A đóng

chứng minh

Nếu A đóng và X là compact thì A là compact

Ngược lại nếu A là compact và X là không gian Haussdorf thì A là đóng

Ta chứng minh A đóng khi và chỉ khi X\A là mở

khi và chỉ khi : X\A = Int (X\A)

khi và chỉ khi

\forall x \in X\backslash A \to \exists {V_x} \subset X\backslash A

Xét

x\in X\backslash A,y\in A\to y\ne x\mathop\to\limits^{X - H{\rm{aus}}s} \exists {V_{xy}},{U_y}:\,{V_{xy}}\cap {U_y}=\emptyset

x\in X\backslash A,y'\in A \to y' \ne x\mathop\to\limits^{X - H{\rm{aus}}s} \exists {V_{xy'}},{U_{y'}}:\,{V_{xy'}}\cap {U_{y'}}=\emptyset
Rõ ràng :

A\subset\mathop\cup\limits_{y \in A} \,{U_y} : phủ mở

A – compact

\Rightarrow \exists {y_1},{y_2},...,{y_n} \in A

A\subset\mathop\cup\limits_{i = 1}^n \,{U_{{y_i}}}

Chứng minh tồn tại Vx

Lấy :

{V_x}=\mathop\cap\limits_{i = 1}^n \,\,{V_{x{y_i}}}

{V_x}=\mathop\cap\limits_{i = 1}^n \,\,{V_{x{y_i}}}\subset\mathop\cap \limits_{i = 1}^n \,\,(X\backslash {U_{{y_i}}}) = X\backslash\mathop\cup\limits_{i = 1}^n \,{U_{{y_i}}} \subset X\backslash A

\Rightarrow X\backslash A

mở

Suy ra A đóng

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: