Sự tương giao của hai đồ thị (phần 1)

3. Bài toán về giao điểm của đồ thị hàm số y = \frac{{{\rm{ax}} + b}}{{cx + d}}

với đường thẳng y = mx+n

Thí dụ 5. Cho hàm số y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng dm: y = m(x-2)+2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (dm) là :

\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = m(x - 2) + 2

m{x^2} - 4mx + 4m - 5 = 0(x \ne 2)\,(2)

Nhận xét:

Khi x = 2 thì PT m{x^2} - 4mx + 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow - 5 = 0 (vô lí) nên PT

m{x^2} - 4mx + 4m - 5 = 0 không nhận x = 2 là nghiệm

Đường thẳng dm: y = m(x-2)+2 luôn đi qua điểm cố định  I(2;2) là tâm đối xứng của đồ thị (C) nên nếu đường thẳng dm cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B thì A, B thuộc hai nhánh của đồ thị (C) và phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  m \ne 0 \\  \Delta ' = 5m > 0 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0

Gọi x1, x2 là hai ngiệm của phương trình (2) thì:

A({x_1};m({x_1} - 2) + 2),B({x_2};m({x_2} - 2) + 2)

AB = \sqrt {(1 + {m^2}){{({x_2} - {x_1})}^2}}

= \sqrt {(1 + {m^2})} \left| {{x_2} - {x_1}} \right|

= \frac{{\sqrt {(1 + {m^2})} 2\sqrt {\Delta '} }}{m}

= 2\sqrt 5 \sqrt {\frac{{1 + {m^2}}}{m}} \ge 2\sqrt {10}

(Do m >0 và \frac{{1 + {m^2}}}{m} \ge 2). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m=1.

Vậy với m = 1 thì dmcắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh của đồ thị và độ dài đoạn AB nhỏ nhất bằng 2\sqrt {10}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: