Kỹ thuật tìm nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện (phần 1)

· Chuyên đề tự chọn, Lượng giác

Thí dụ 3. Giải phương trình:

\frac{{\sin {\rm{x}}\cot 5x}}{{c{\rm{os}}9x}} = 1\,(3)

Lời giải:

Điều kiện

\sin 5x \ne 0,c{\rm{os}}9x \ne 0, tức là:

x \ne \frac{{m\pi }}{5}

x \ne \frac{{(2m + 1)\pi }}{{18}}(m \in Z)

PT (3)

\Leftrightarrow \sin {\rm{x}}\cos 5x = \sin 5x\cos 9x

\Leftrightarrow \sin 6x - \sin 4x = \sin 14x - \sin 4x

\Leftrightarrow \sin 14x = \sin 6x

 

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  x = \frac{{k\pi }}{4}(a) \\  x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}(b) \\  \end{array} \right.(k \in Z)

Đối chiếu ĐK:

Nghiệm (a) bị loại khi và chỉ khi

k,m \in Z

sao cho:

 

\left[ \begin{array}{l}  \frac{{k\pi }}{4} = \frac{{m\pi }}{5} \\  \frac{{k\pi }}{4} = \frac{{(2m + 1)\pi }}{{18}} \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  5k - 4m = 0\,(a') \\  9k - 4m = 2(b') \\  \end{array} \right.

 

\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}  k = 4t \\  k = 2 - 4t \\  \end{array} \right.(t \in Z)

Vậy với k lẻ, tức là:

x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}(t \in Z)

là nghiệm của PT (3).

Nghiệm (b) bị loại khi và chỉ khi

k,m \in Z

sao cho:

 

\left[ \begin{array}{l}  \frac{{k\pi }}{4} = \frac{{m\pi }}{5} \\  \frac{{k\pi }}{4} = \frac{{(2m + 1)\pi }}{{18}} \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  5k - 4m = 0\,(a') \\  9k - 4m = 2(b') \\  \end{array} \right.

\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}  k = 4t \\  k = 2 - 4t \\  \end{array} \right.(t \in Z)

cả hai phương trình này đều không có nghiệm nguyên.

Suy ra, nghiệm (b) thỏa mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của PT (3) là :

x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2};x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}(k \in Z)

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: