Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (phần 2)

Tạp chí toán học tuổi trẻ số ra tháng 6 năm 2012

II. Một số dạng toán.

Dạng 3. Bài toán liên quan đến số tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Thí dụ 6. Cho hàm số

y = {x^3} - 3x

có đồ thị (C ). Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó kẻ đúng ba tiếp tuyến đến (C ).

Lời giải:

Ta có:

y' = 3{x^2} - 3

Giả sử

M ( x0;2) thuộc đường thẳng y = 2.

Đường thẳng d đi qua M với hệ số góc k có PT

y= k(x-x0)+2.

d tiếp xúc với (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

\left\{ \begin{array}{l}  {x^3} - 3x = k(x - {x_0}) + 2 \\  3{x^2} - 3 = k \\  \end{array} \right.

Thay k từ PT thứ hai vào PT đầu của hệ và thu gọn, ta được:

(x + 1)(2{x^2} - (3{x_0} + 2)x + 3{x_0} + 2) = 0\,(1)

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  x = - 1 \\  f(x) = 2{x^2} - (3{x_0} + 2)x + 3{x_0} + 2 = 0\,(2) \\  \end{array} \right.

 

Yêu cầu bài toán tương đương với PT (1) có ba nghiệm phân biệt, tức là PT(2) có hai nghiệm phân biệt khác  -1.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

 

\left\{ \begin{array}{l}  \Delta = 9{x^2}_0 - 12{x_0} - 12 > 0 \\  f( - 1) = 6({x_0} + 1) \ne 0 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  {x_0} > 2 \\  {x_0} < - \frac{2}{3} \\  \end{array} \right.

Vậy M (x0;2) (với x0 thỏa mãn (3)) là các điểm cần tìm trên đường thẳng y = 2.

 

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: