Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (phần 4)

Tạp chí toán học tuổi trẻ số ra tháng 6 năm 2012

II. Một số dạng toán.

Thí dụ 4. cho hàm số

y = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}

có đồ thị (C ). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C ). Tìm các điểm M trên ( C ) để tiếp tuyến với (C ) tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của (C ) lần lượt tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có:

y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 2)}^2}}},\forall x \ne 2

Giả sử

M({x_0};\frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}}) \in (C)

PT tiếp tuyến với ( C ) tại M có dạng:

y = \frac{{ - 1}}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}}

Khi đó

A(2;\frac{{2{x_0} - 2}}{{{x_0} - 2}}),B(2{x_0} - 2;2)

Nhận thấy:

\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{2 + 2{x_0} - 2}}{2} = {x_0}

, nên M là trung điểm của AB

Ta có I (2;2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích là:

S = \pi .I{M^2} = \pi \left( {{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2} + {{(\frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} - 2}} - 2)}^2}} \right)

= \pi \left( {{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2} + \frac{1}{{{{({x_0} - 2)}^2}}}} \right) \ge 2\pi

(BĐT Cauchy).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

{\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = \frac{1}{{{{({x_0} - 2)}^2}}} \Leftrightarrow {x_0} = 1

hoặc

{x_0} = 3

Vậy có hai điểm cần tìm là M1(1;1) và M2(3;3).

 

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: