Bài tập 1.15. Xác định loại của phương trình

Bài tập 1.15. Xác định loại của phương trình :

{y^2}{u_{xx}} + 2xy{u_{xy}} + 2{x^2}{u_{yy}} + y{u_y} = 0

và đưa phương trình này về dạng chính tắc trên miền elliptic.

Phương trình vi phân đặc trưng là :

{y^2}{(y')^2} - 2xy\,y' + 2{x^2} = 0

\Delta ={b^2} - 4ac ={( - 2xy)^2} - 4.{y^2}.2{x^2} = - 4{x^2}{y^2}

Phương trình thuộc loại elliptic nếu

xy \ne 0

phương trình thuộc loại parabolic nếu x = 0 hoặc y = 0.

TH1. Nếu x = 0 thì dạng chính tắc của phương trình:

{u_{xx}} + \frac{1}{y}{u_y} = 0

Nếu y = 0 thì dạng chính tắc của phương trình :

{u_{yy}} = 0

TH2. Nếu

xy \ne 0

Phương trình này có hai nghiệm phức:

y' = \frac{1}{{2{y^2}}}(2xy + 2ixy),

y' = \frac{1}{{2{y^2}}}(2xy - 2ixy),

Khi giải phương trình:

y' = \frac{1}{{2{y^2}}}(2xy + 2ixy),

ta thu được nghiệm:

\frac{1}{2}{y^2} - \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}{\rm{i}}{{\rm{x}}^2} = C

Đổi biến:

\xi = {y^2} - {x^2}

\eta = - {x^2}

ta được:

{u_x}= - 2{u_\xi }x - 2{u_\eta }x,{u_y} = 2{u_\xi }y,

{u_{xx}}=4{u_{\xi \xi }}{x^2}+8{u_{\xi \eta }}{x^2}+ 4{u_{\eta \eta }}{x^2} - 2{u_\xi } - 2{u_\eta }

{u_{xy}}=- 4{u_{\xi \xi }}xy - 4{u_{\xi \eta }}xy

{u_{yy}} = 4{u_{\xi \xi }}{y^2} + 2{u_\xi }

Khi đó,

{y^2}{u_{xx}} + 2xy{u_{xy}} + 2{x^2}{u_{yy}} + y{u_y}

= 4{y^2}{u_{\xi \xi }}{x^2} + 4{y^2}{u_{\eta \eta }}{x^2} - 2{y^2}{u_\eta } + 4{x^2}{u_\xi }

=4{x^2}{y^2}({u_{\xi \xi }} + {u_{\eta \eta }} - \frac{1}{{2{x^2}}}{u_\eta } + \frac{1}{{{y^2}}}{u_\xi })

=4{x^2}{y^2}({u_{\xi \xi }}+{u_{\eta \eta }}-\frac{1}{{2\eta }}{u_\eta } - \frac{1}{{\eta -\xi }}{u_\xi })

Do vậy, dạng chính tắc của phương trình ban đầu trong miền elliptic là:

{u_{\xi \xi }}+{u_{\eta \eta }}+\frac{1}{{2\eta }}{u_\eta }+\frac{1}{{\eta -\xi }}{u_\xi } = 0

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: