Bài tập 1.17. Hãy tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau trên mỗi miền elliptic, hyperbolic, hay parabolic (phần 3)

d)

{x^2}{u_{xx}} - {y^2}{u_{yy}} - 2y{u_y} = 4xy

{b^2} - ac = {x^2}{y^2}

Trên miền Parabolic :

{\rm{\{ (x,y):x = 0 or}}\,y = 0{\rm{\} }}

Nếu x = 0, y khác 0, thì phương trình là:

- {y^2}{u_{yy}} - 2y{u_y} = 0

Nghiệm tổng quát:

u=-\frac{{{C_1}}}{y} + {C_2}

Nếu y =0, x khác 0 thì phương trình là:

{x^2}{u_{xx}} = 0

Nghiệm tổng quát:

u = {C_1}x + {C_2}

Trên miền hyperbolic

{\rm{\{ (x,y):}}\,{\rm{xy}} \ne 0{\rm{\} }}

Đổi biến:

\xi =\frac{y}{x},\eta = xy

(xem bài 1.14). Ta thu được phương trình:

- 4\xi \eta ({u_{\xi \eta }} + \frac{1}{{2\xi }}{u_\eta }) = 4\eta

hay

{u_{\xi \eta }}+\frac{1}{{2\xi }}{u_\eta }= -\frac{1}{\xi }

Đặt

{u_\eta } = v thì

{v_\xi }+\frac{1}{{2\xi }}v= -\frac{1}{\xi }

Giải phương trình trên coi \eta  là tham số. Dễ thấy v = -2 là một nghiệm riêng của phương trình.

Khi giải phương trình thuần nhất:

{v_\xi } + \frac{1}{{2\xi }}v = 0

ta có nghiệm:

v = C{\left|\xi\right|^{-\frac{1}{2}}}

Do đó nghiệm tổng quát là:

v=C(\eta ){\left|\xi\right|^{-\frac{1}{2}}} - 2,

C là hàm bất kì phụ thuộc \eta

Lấy tích phân hai vế theo \eta  , coi \xi  là tham số, ta có:

u={\left|\xi\right|^{-\frac{1}{2}}}\int {C(\eta )d}\eta -2\eta +g(\xi )

g là hàm bất kì phụ thuộc \xi

Đặt

\int {C(\eta )d}\eta =f(\eta )

u={\left|\xi\right|^{-\frac{1}{2}}}f(\eta )-2\eta + g(\xi)

Từ đó suy ra:

u = {\left| {\frac{x}{y}} \right|^{\frac{1}{2}}}f(xy) - 2xy + g(\frac{y}{x})

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: