Bài tập 1.17. Hãy tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau trên mỗi miền elliptic, hyperbolic, hay parabolic (phần 4)

b)

3{u_{xx}} - 5{u_{xy}} - 2{u_{yy}} + 3{u_x} + {u_y} = 2

Phương trình vi phân đặc trưng:

3{(y')^2} + 5y' - 2 = 0

(3y' - 1)(y' + 2)=0,y'=- 2,y'=\frac{1}{3}

Nếu y’ = -2, dy = -2dx, 2x+y=C1

Nếu y’=1/3, 3dy=dx,3y-x=C2

Đổi biến

\xi =2x+y

\eta =3y - x

{u_x} = 2{u_\xi } - {u_\eta },{u_y} = {u_\xi } + 3{u_\eta },{u_{xx}} = 4{u_{\xi \xi }} - 4{u_{\xi \eta }} + {u_{\eta \eta }},

{u_{xy}} = 2{u_{\xi \xi }} + 5{u_{\xi \eta }} - 3{u_{\eta \eta }},{u_{yy}} = {u_{\xi \xi }} + 6{u_{\xi \eta }} + 9{u_{\eta \eta }}

Ta thu được phương trình:

49{u_{\xi \eta }} - 7{u_\xi } + 2 = 0

Khi đổi biến:v = {u_\xi } ta có được:

49{v_\eta } - 7v + 2 = 0

Giải phương trình trên, coi \xi  là tham số.

Dễ thấy v = 2/7 là một nghiệm riêng.

Khi giải phương trình thuần nhất : 49{v_\eta } - 7v = 0, ta có :

v = C{e^{\eta /7}}

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là :

v = C(\xi ){e^{\eta /7}} + 2/7

, C là hàm bất kì phụ thuộc \xi  .

Lấy tích phân 2 vế theo  \xi , coi \eta  là tham số.

u={e^{\eta /7}}\int {C(\xi )d\xi }+\frac{2}{7}\xi +g(\eta ), g là hàm bất kì phụ thuộc \eta

Đặt:

\int {C(\xi )d\xi }= f(\xi )

u={e^{\eta /7}}f(\xi )\frac{2}{7}\xi +g(\eta )

Vậy

u = {e^{\frac{1}{7}(3y - x)}}f(2x + y) + \frac{2}{7}(2x + y) + g(3y - x).

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: