Phương pháp sử dụng số phức (phần 1)

· Toán học, Đại số sơ cấp

Với một số phức z được viết ở dạng chính tắc z = a+ bi, khi đó

{z^n}={(a + bi)^n}=\sum\limits_{k = 0}^{{\rm{[}}\frac{n}{2}{\rm{]}}} {{{( - 1)}^k}\mathop C\nolimits_n^{2k} {a^{n - 2k}}{b^{2k}}}+ i\sum\limits_{k = 0}^{{\rm{[}}\frac{{n - 1}}{2}{\rm{]}}} {{{( - 1)}^k}\mathop C\nolimits_n^{2k + 1} {a^{n - 2k - 1}}{b^{2k + 1}}}

(kí hiệu [x] là phần nguyên của một số thực x).

Mặt khác z còn được viết ỏ dạng lượng giác

z = r(c{\rm{os}}\varphi {\rm{ + i}}\sin \varphi )

với r = \left| z \right| và  \varphi ={\rm{Ar}}gz, lúc đó theo công thức Moivre thì

{z^n} = {r^n}(c{\rm{osn}}\varphi {\rm{ + i}}\sin n\varphi )

Đồng nhất giữa các phần thực và ảo tương ứng ta được hai đẳng thức:

{r^n}c{\rm{osn}}\varphi =\sum\limits_{k = 0}^{{\rm{[}}\frac{n}{2}{\rm{]}}} {{{( - 1)}^k}\mathop C\nolimits_n^{2k} {a^{n - 2k}}{b^{2k}}}

{r^n}\sin n\varphi =\sum\limits_{k = 0}^{{\rm{[}}\frac{{n - 1}}{2}{\rm{]}}} {{{( - 1)}^k}\mathop C\nolimits_n^{2k + 1} {a^{n - 2k - 1}}{b^{2k + 1}}}

Đây chính là một xuất phát điểm cho việc thiết lập và chứng minh nhiều bài toán về tổng hữu hạn.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: