Phương pháp sử dụng số phức (phần 3)

· Toán học, Đại số sơ cấp

Ví dụ 2. Chứng minh các công thức sau đây:

\cos n\varphi =\sum\limits_{k = 0}^{{\rm{[}}\frac{n}{2}{\rm{]}}} {{{( - 1)}^k}\mathop C\nolimits_n^{2k} } c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{n - 2k}}\varphi {\sin ^{2k}}\varphi

\sin n\varphi =\sum\limits_{k = 0}^{{\rm{[}}\frac{{n - 1}}{2}{\rm{]}}} {{{( - 1)}^k}\mathop C\nolimits_n^{2k + 1} } c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{n - 2k - 1}}\varphi {\sin ^{2k + 1}}\varphi

\tan n\varphi =\frac{{\mathop C\nolimits_n^1\tan\varphi -\mathop C\nolimits_n^3 {{\tan }^3}\varphi + ...}}{{1 -\mathop C\nolimits_n^2 {{\tan }^2}\varphi +\mathop C\nolimits_n^4 {{\tan}^4}\varphi + ...}}

Giải:

Lấy z = c{\rm{os}}\varphi {\rm{ + i}}\sin\varphi  , khi đó:

c{\rm{osn}}\varphi {\rm{ + i}}\sin n\varphi ={(c{\rm{os}}\varphi +{\rm{i}}\sin\varphi )^n}=

=\sum\limits_{k = 0}^{{\rm{[}}\frac{n}{2}{\rm{]}}} {{{( - 1)}^k}\mathop C\nolimits_n^{2k} } c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{n - 2k}}\varphi {\sin ^{2k}}\varphi + i\sum\limits_{k = 0}^{{\rm{[}}\frac{{n - 1}}{2}{\rm{]}}} {{{( - 1)}^k}\mathop C\nolimits_n^{2k + 1} } c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{n - 2k - 1}}\varphi {\sin ^{2k + 1}}\varphi

Đồng nhất thức tương ứng phần thực và ảo, ta nhận được (i) và (ii). Từ (i) và (ii) ta nhận được (iii) bằng cách chia cả tử và mẫu cho

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: