Hỏi ánh xạ sau có phải là vi phôi không ?

Hỏi ánh xạ

f:{R^2}\to {R^2}

(u,v) \mapsto (x,y)

cho sau đấy có phải là vi phôi không ? Nếu f là vi phôi, hãy biểu diễn:

{f_*}\frac{\partial }{{\partial u}},{f_*}\frac{\partial }{{\partial v}}

qua

\frac{\partial }{{\partial x}},\frac{\partial }{{\partial y}}

a)

f:{R^2} \to {R^2}

{\rm{\{ }}\frac{\partial }{{\partial u}}{\rm{,}}\frac{\partial }{{\partial v}}{\rm{\} }} \mapsto {\rm{\{ }}\frac{\partial }{{\partial x}}{\rm{,}}\frac{\partial }{{\partial y}}{\rm{\} }}

X = {X_1}\frac{\partial }{{\partial u}} + {X_2}\frac{\partial }{{\partial v}} \mapsto {f_*}X

{f_*}X = {X_1}{f_*}\frac{\partial }{{\partial u}} + {X_2}{f_*}\frac{\partial }{{\partial u}}

{f_*}\frac{\partial }{{\partial u}} = \frac{{\partial x}}{{\partial u}}\frac{\partial }{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial u}}\frac{\partial }{{\partial y}}

{f_*}\frac{\partial }{{\partial v}} = \frac{{\partial x}}{{\partial v}}\frac{\partial }{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial v}}\frac{\partial }{{\partial y}}

f là vi phôi khi và chỉ f khả vi, f song ánh và f-1 khả vi

f khả vi vì các hàm hành phần của x = v{e^u},y = u là các hàm sơ cấp nên khả vi

f là song ánh khi và chỉ khi:

\forall (x,y)\exists !(v,v):f(u,v) = (x,y)

khi và chỉ khi hệ phương trình f(u,v)=(x,y) (ẩn u, v) có nghiệm duy nhất

Xét hệ :

\left\{ \begin{array}{l}  x = v{e^u}\\  y = u  \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  u = y\\  v = x{e^{ - y}}  \end{array} \right.

(tính u, v theo x, y)

Suy ra f là song ánh và

{f^{ - 1}}:{R^2} \to {R^2}

(x,y) \mapsto (u = y,v = x{e^{ - y}})

f-1 khả vi, vì các hàm thành phân của f-1 là u = y, v = xe-y
là các hàm sơ cấp nên khả vi.

Vậy f là vi phôi.

{f_*}\frac{\partial }{{\partial u}} = \frac{{\partial x}}{{\partial u}}\frac{\partial }{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial u}}\frac{\partial }{{\partial y}}

=v{e^u}\frac{\partial }{{\partial x}} + 1\frac{\partial }{{\partial y}}

= (x{e^{ - y}}){e^y}\frac{\partial }{{\partial x}} + \frac{\partial }{{\partial y}}

= x\frac{\partial }{{\partial x}} + \frac{\partial }{{\partial y}}

{f_*}\frac{\partial }{{\partial v}} = \frac{{\partial x}}{{\partial v}}\frac{\partial }{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial v}}\frac{\partial }{{\partial y}}

= {e^u}\frac{\partial }{{\partial x}} + 0\frac{\partial }{{\partial y}} = {e^y}\frac{\partial }{{\partial x}}

{f_*}(u\frac{\partial }{{\partial u}} + 2\frac{\partial }{{\partial v}})

= y(x\frac{\partial }{{\partial u}} + 2\frac{\partial }{{\partial v}}) + 2{e^y}\frac{\partial }{{\partial x}}

= (yx + 2{e^y})\frac{\partial }{{\partial x}} + y\frac{\partial }{{\partial y}}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: