Nguyên lý xuống thang với phương trình nghiệm nguyên

· Đại số sơ cấp

Ví dụ 1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau đây:

8{x^4} + 4{y^4} + 2{z^4} = {u^4}

Giải

Trước hết ta thấy ngay phương trình này có một nghiệm (0;0;0;0).

Ta cần chứng tỏ rằng nó không còn nghiệm nào khác.

Giả sử nó có nghiệm khác nghiệm trên thì phải tồn tại nghiệm có dạng (a,b,c,d) với d khác 0, thậm chí d > 0.

Theo tính chất của số tự nhiên, thì trong số tất cả các nghiệm như vậy ắt phải có nghiệm (m,n,p,q) với q nguyên dương nhỏ nhất.

Ta thấy ngay q chẵn và giả sử q = 2s.

Khi đó, ta có:

4{m^4} + 2{n^4} + {p^4} = 8{s^4}

Từ đẳng thức này ta rút ra p chẵn, p = 2t.

Lại thay vào đẳng thức vừa  có, ta rút ra:

2{m^4} + {n^4} + 8{t^4} = 4{s^4}

Dẫn đến n chẵn và giả sử n = 2v.

Tiếp tục thay vào đẳng thức kề trên ta có:

{m^4} + 8{v^4} + 4{t^4} = 2{s^4}

Đến lượt m chẵn và m = 2w, làm tương tự như các bước trước ta có:

8{{\rm{w}}^4} + 4{v^4} + 2{t^4} = {s^4}

Đẳng thức này chứng tỏ (w,v,t,s) cũng là nghiệm của phương trình đã cho, nhưng với s<q (mâu thuẫn !)

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: