Bài tập 1.16.Xác định loại của các phương trình sau và đưa chúng về dạng chính tắc (phần 3)

c)\,{u_{xx}} + y{u_{yy}} + \frac{1}{2}{u_y} = 0

{b^2} - ac = - y

Phương trình thuộc loại parabolic nếu y = 0, elliptic nếu y > 0, hyperbolic nếu y < 0.

y = 0. Phương trình trở thành:

{u_{xx}} + \frac{1}{2}{u_y} = 0

y > 0. Phương trình vi phân đặc trưng là:

{(y')^2} + y = 0

hay

y' = \pm i\sqrt y

Từ đó ta nhận được:

2{y^{1/2}} + ( \pm i)x = C

Đổi biến:

\xi = x,\eta = 2{y^{1/2}}.

Ta nhận được:

{u_x} = {u_\xi },{u_y} = \frac{1}{{\sqrt y }}{u_\eta },{u_{xx}} = {u_{\xi \xi }},{u_{yy}} = \frac{1}{y}{u_{\eta \eta }} + {u_\eta }\frac{{ - 1}}{2}\frac{1}{{y\sqrt y }}

Khi đó ta có:

{u_{xx}} + y{u_{yy}} + \frac{1}{2}{u_y} = {u_{\xi \xi }} + {u_{\eta \eta }}

Vậy dạng chính tắc của phương trình trên miền elliptic là:

{u_{\xi \xi }} + {u_{\eta \eta }} = 0

y < 0. Phương trình vi phân đặc trưng là:

{(y')^2} + y = 0

Do đó:

y' = \pm \sqrt { - y}

Nếu y' = - \sqrt { - y} , ta nhận được:

x + 2\sqrt { - y} = {C_1}

Nếu   y' = \sqrt { - y} , ta nhận được:

\xi - 2\sqrt { - y} = {C_2}

Đổi biến:

\xi = x + 2\sqrt { - y} ,\eta = x - 2\sqrt { - y}

Ta tính được:

{u_x} = {u_\xi } + {u_\eta },{u_y} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt { - y} }}{u_\xi } + \frac{1}{{\sqrt { - y} }}{u_\eta }

{u_{xx}} = {u_{\xi \xi }} + 2{u_{\xi \eta }} + {u_{\eta \eta }},

{u_{yy}} = - \frac{1}{y}{u_{\xi \xi }} + \frac{2}{y}{u_{\xi \eta }} - \frac{1}{y}{u_{\eta \eta }} + {u_\xi }\frac{1}{{2y\sqrt { - y} }} - {u_\eta }\frac{1}{{2y\sqrt { - y} }}

Khi đó:

{u_{xx}} + y{u_{yy}} + \frac{1}{2}{u_y} = 4{u_{\xi \eta }}

Vậy dạng chính tắc của phương trình trên miền hyperbolic là:

{u_{\xi \eta }} = 0

 

 

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: