Bài tập 1.16.Xác định loại của các phương trình sau và đưa chúng về dạng chính tắc (phần 4)

d)\,(1 + {x^2}){u_{xx}} + (1 + {y^2}){u_{yy}} + x{u_x} + y{u_y} = 0

{b^2} - ac = - (1 + {x^2})(1 + {y^2}) < 0

Phương trình thuộc loại elliptic. Phương trình vi phân đặc trưng là:

(1 + {x^2}){(y')^2} + (1 + {y^2}) = 0

Do đó:

y' = \pm i\sqrt {\frac{{1 + {y^2}}}{{1 + {x^2}}}}

Giải phương trình:

y' = i\sqrt {\frac{{1 + {y^2}}}{{1 + {x^2}}}} ,\frac{{dy}}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = i\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }},

\ln \left| {y + \sqrt {1 + {y^2}} } \right| - i\ln \left| {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right| = C

\ln (y + \sqrt {1 + {y^2}} ) - i\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ) = C

Đổi biến:

\xi = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )

\eta = \ln (y + \sqrt {1 + {y^2}} )

Ta tính được:

{\xi _x} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }},{\xi _y} = 0,{\eta _x} = 0,{\eta _y} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }}

{u_x} = {u_\xi }\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }},{u_y} = {u_\eta }\frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }},

{u_{xx}} = \frac{1}{{1 + {x^2}}}{u_{\xi \xi }} - {u_\xi }\frac{x}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }},

{u_{yy}} = \frac{1}{{1 + {y^2}}}{u_{\eta \eta }} - {u_\eta }\frac{y}{{(1 + {y^2})\sqrt {1 + {y^2}} }},

Khi đó:

(1 + {x^2}){u_{xx}} + (1 + {y^2}){u_{yy}} + x{u_x} + y{u_y} = {u_{\xi \xi }} + {u_{\eta \eta }}

Vậy dạng chính tắc của phương trình là:

{u_{\xi \xi }} + {u_{\eta \eta }} = 0

 

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: