Bài tập 1.16.Xác định loại của các phương trình sau và đưa chúng về dạng chính tắc (phần 5)

e)\,{e^{2x}}{u_{xx}} - 2{e^{x + y}}{u_{xy}} + {e^{2y}}{u_{yy}} + ({e^{2y}} - {e^{x + y}}){u_y} = 0

 

{b^2} - ac = {e^{2(x + y)}} - {e^{2x}}{e^{2y}} = 0

Phương trình thuộc loại parabolic. Phương trình vi phân đặc trưng là:

{e^{2x}}{(y')^2} - 2{e^{x + y}}y' + {e^{2y}} = 0

Từ đó ta có:

y' = {e^{y - x}}

Bởi vậy ta nhận được:

{e^{ - x}} - {e^{ - y}} = C

Đổi biến:

\xi = {e^{ - x}} - {e^{ - y}}

\eta = x

Ta tính được:

{\xi _x} = - {e^{ - x}},{\xi _y} = - {e^{ - y}},{\eta _x} = 1,{\eta _y} = 1,{u_x} = - {e^{ - x}}{u_\xi } + {u_\eta }

{u_y} = {e^{ - y}}{u_\xi },{u_{xx}} = {e^{ - 2x}}{u_{\xi \xi }} - 2{e^{ - x}}{u_{\xi \eta }} + {u_{\eta \eta }} + {e^{ - x}}{u_\xi },

{u_{xy}} = - {e^{ - x - y}}{u_{\xi \xi }} + {e^{ - y}}{u_{\xi \eta }},{u_{yy}} = {e^{ - 2y}}{u_{\xi \xi }} - {e^{ - y}}{u_\xi },

Khi đó ta có:

{e^{2x}}{u_{xx}} - 2{e^{x + y}}{u_{xy}} + {e^{2y}}{u_{yy}} + ({e^{2y}} - {e^{x + y}}){u_y} = {e^{2x}}{u_{\eta \eta }}

Vậy dạng chính tắc của phương trình là:

{u_{\eta \eta }} = 0

 

 

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: