4.15. Giải các bài toán sau (phần 2)

Bước 2:

\left\{ \begin{array}{l}  {v_t} = {v_{xx}} + v\,(1) \\  {v_x}(0,t) = {v_x}(\pi ,t) = 0\,(2) \\  v(x,0) = {\varphi ^*}(x) = c{\rm{os}}2x\,(3) \\  \end{array} \right.

Phương pháp tách biến:

Đặt v(x,t) = X(x) T(t)

Từ (1) ta suy ra:

XT’ = X” T + XT

Suy ra

\frac{{X'' + X}}{X} = \frac{{T'}}{T} = - \lambda

\left\{ \begin{array}{l}  T' + \lambda T = 0\,(4) \\  X'' + (\lambda + 1)T = 0\,(5) \\  {X_x}(0) = {X_x}(\pi ) = 0\,(6) \\  \end{array} \right.

Giải (5)

Phương trình đặc trưng của (1) là:

{\gamma ^2} + (\lambda + 1) = 0 \Leftrightarrow {\gamma ^2} = - (\lambda + 1)

TH1: - (\lambda + 1) > 0 \Leftrightarrow \lambda < - 1

\Rightarrow X(x) = {C_1}{e^{\sqrt { - \lambda - 1} x}} + {C_2}{e^{ - \sqrt { - \lambda - 1} x}}

\Rightarrow {X_x} = {C_1}\sqrt { - \lambda - 1\,} {e^{\sqrt { - \lambda - 1} x}} - {C_2}\sqrt { - \lambda - 1\,} {e^{ - \sqrt { - \lambda - 1} x}}

Từ (6)

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}  {C_1}\sqrt { - \lambda - 1\,} - {C_2}\sqrt { - \lambda - 1\,} = 0 \\  {C_1}\sqrt { - \lambda - 1\,} {e^{\sqrt { - \lambda - 1} \pi }} - {C_2}\sqrt { - \lambda - 1\,} {e^{ - \sqrt { - \lambda - 1} \pi }} = 0 \\  \end{array} \right. \Rightarrow {C_1} = {C_2} = 0

TH2: - (\lambda + 1) = 0 \Leftrightarrow \lambda = - 1

X(x) = {C_1} + {C_2}x

{X_x} = {C_2}

{X_x}(0) = {X_x}(\pi ) = {C_2} = 0

\Rightarrow {X_x} = {C_1},{C_1} = c{\rm{ons}}t bất kì

Phương trình đối với T có dạng:

T’ – T = 0

\Rightarrow T = {C_3}{e^{1t}} = {C_3}{e^t},{C_3} = c{\rm{ons}}t bất kì

TH3: - (\lambda + 1) < 0 \Leftrightarrow \lambda > - 1

\Rightarrow X(x) = {C_1}c{\rm{os}}\sqrt {\lambda + 1\,} x + {C_2}\sin \sqrt {\lambda + 1\,} x

\Rightarrow {X_x}(0) = {C_2}\sqrt {\lambda + 1\,} = 0 \Rightarrow {C_2} = 0

{X_x}(\pi ) = - {C_1}\sqrt {\lambda + 1\,} \sin \sqrt {\lambda + 1\,} \pi = 0 \Rightarrow \sin \sqrt {\lambda + 1\,} \pi = 0

\sqrt {\lambda + 1\,} \pi = k\pi ,k = 1,2,...

{\lambda _k} = {k^2} - 1

{X_k} = {D_k}\cos kx,{D_k} = c{\rm{ons}}t bất kì, k = 1,2,…

Phương trình đối với T có dạng:

T' + ({k^2} - 1)T = 0

\Rightarrow {T_k}(t) = {B_k}{e^{(1 - {k^2})}}T\,,{B_k} = c{\rm{ons}}t bất kì, k = 1,2

Công thức nghiệm của bài toán đối với v là:

v(x,t) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{A_k}{e^{(1 - {k^2})t}}\cos kx}

v(0,t) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{A_k}\cos kx} = c{\rm{os}}2x

\Rightarrow {A_2} = 1,{A_k} = 0\forall k \ne 2

v(x,t) = {e^{ - 3t}}c{\rm{os}}2x

 

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: