4.15. Giải các bài toán sau (phần 3)

Bước 3. giải bài toán đối với w

Tìm w(x,t) dưới dạng:

{\rm{w}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{T_k}(t)\cos kx}

Trong đó:

{T_k}(t) là hàm chỉ phụ thuộc t và thỏa mãn {T_k}(0) = 0

Thay công thức của w vào phương trình ta nhận được

{{\rm{w}}_t} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\cos kxT{'_k}(t)}

{{\rm{w}}_{xx}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{T_k}(t)( - {k^2})\cos kx}

{\rm{ - }}{{\rm{w}}_{xx}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{k^2}{T_k}(t)\cos kx}

{\rm{ - w}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty { - {T_k}(t)\cos kx}

{{\rm{w}}_t} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {T{'_k}(t)\cos kx}

\Rightarrow {{\rm{w}}_t} - {{\rm{w}}_{xx}} - {\rm{w}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\cos kx[T{'_k}(t) + ({k^2} - 1){T_k}{\rm{]}} = 2\cos t}

\sum\limits_{k = 0}^\infty {\cos kx[T{'_k}(t) + ({k^2} - 1){T_k}{\rm{]}} = 2\cos t}

T{'_0} - {T_0} = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {2\cos tdx} = 2\cos t\,(*)

T{'_k} + ({k^2} - 1){T_k} = \frac{2}{\pi }\int\limits_0^\pi {2\cos t\cos kxdx} = 0

Từ (*) suy ra:

{T_0}(t) = C{e^t} + \sin t - \cos t

{T_0}(0) = C - 1 = 0 \Rightarrow C = 1

\Rightarrow {T_0}(t) = {e^t} + \sin t - \cos t

{T_k}(t) = C{e^{(1 - {k^2})t}}

{T_k}(0) = C = 0

{T_k}(t) \equiv 0

Vậy

\Rightarrow {\rm{w}} = {e^t} + \sin t - \cos t

Kết quả:

\Rightarrow {\rm{w(x,t)}} = u* + v + {\rm{w}} = x{t^2} + {e^{ - 3t}}c{\rm{os}}2x + {e^t} + \sin t - \cos t

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: