Bài tập 1.19 Đưa các phương trình sau về dạng chính tắc (phần 1)

4{u_{{x_1}{x_1}}} + 3{u_{{x_2}{x_2}}} + \frac{2}{3}{u_{{x_3}{x_3}}} + 2{u_{{x_1}{x_2}}} + 4{u_{{x_1}{x_3}}} + 2{u_{{x_2}{x_3}}} = 0

a) Dạng đặc trưng của phương trình:

K({\xi _1},{\xi _2},{\xi _3}) = 4{\xi _1}^2 + 3{\xi _2}^2 + \frac{2}{3}{\xi _3}^2 + 2{\xi _1}{\xi _2} + 4{\xi _1}{\xi _3} + 2{\xi _2}{\xi _3}

= (4{\xi _1}^2 + 2{\xi _1}{\xi _2} + \frac{1}{4}{\xi _2}^2 + 4{\xi _1}{\xi _3} + {\xi _3}^2 + {\xi _2}{\xi _3}) + \frac{{11}}{4}{\xi _2}^2 - \frac{1}{3}{\xi _3}^2 + {\xi _2}{\xi _3}

= {(2{\xi _1} + \frac{1}{2}{\xi _2} + {\xi _3})^2} + (\frac{{11}}{4}{\xi _2}^2 + {\xi _2}{\xi _3} + \frac{1}{{11}}{\xi _3}^2) - \frac{{14}}{{33}}{\xi _3}^2

= {(2{\xi _1} + \frac{1}{2}{\xi _2} + {\xi _3})^2} + {(\frac{{\sqrt {11} }}{2}{\xi _2} + \frac{1}{{\sqrt {11} }}{\xi _3})^2} - {(\frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {33} }}{\xi _3})^2}

= {\eta _1}^2 + {\eta _2}^2 - {\eta _3}^2

ở đây \eta  được cho như sau:

\eta = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{\eta _1}} \\  {{\eta _2}} \\  {{\eta _3}} \\  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  2 & {\frac{1}{2}} & 1 \\  0 & {\frac{{\sqrt {11} }}{2}} & {\frac{1}{{\sqrt {11} }}} \\  0 & 0 & {\frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {33} }}} \\  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{\xi _1}} \\  {{\xi _2}} \\  {{\xi _3}} \\  \end{array}} \right] = B\xi

Vậy để đưa phương trình về dạng chính tắc ta phải thực hiện phép đổi biến:

y = {({B^{ - 1}})^T}x

Ta tìm được B-1 theo phương pháp bài 1.18:

{B^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{1}{2}} & {\frac{{ - 1}}{{2\sqrt {11} }}} & { - \frac{5}{{11}}\frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {14} }}} \\  0 & {\frac{2}{{\sqrt {11} }}} & { - \frac{2}{{11}}\frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {14} }}} \\  0 & 0 & {\frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {14} }}} \\  \end{array}} \right]

với phép đổi  biến:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{y_1}} \\  {{y_2}} \\  {{y_3}} \\  \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{1}{2}} & 0 & 0 \\  {\frac{{ - 1}}{{2\sqrt {11} }}} & {\frac{2}{{\sqrt {11} }}} & 0 \\  { - \frac{5}{{11}}\frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {14} }}} & { - \frac{2}{{11}}\frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {14} }}} & {\frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {14} }}} \\  \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x_1}} \\  {{x_2}} \\  {{x_3}} \\  \end{array}} \right]

ta thu được phương trình chính tắc:

{u_{{y_1}{y_1}}} + {u_{{y_2}{y_3}}} - {u_{{y_3}{y_3}}} = 0

1 Phản hồi

Comments RSS
  1. Khách

    Cách giải này không tổng quát lm, các b có thể tham cách giải tốt nhất
    tại quyển PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG tác giả NGUYỄN THỪA HỢP

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: