Bài tập 1.3 Xác định loại của phương trình sau

2{u_{xy}} - 2{u_{xz}} + 2{u_{yz}} + 3{u_x} - u = 0

Dạng đặc trưng của phương trình:

K({\xi _1},{\xi _2},{\xi _3}) = 2{\xi _1}{\xi _2} - 2{\xi _1}{\xi _3} + 2{\xi _2}{\xi _3}

Áp dụng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.

Bởi vì trong dạng toàn phương trên hệ số của {\xi _1}^2,{\xi _2}^2,{\xi _3}^2 bằng không, nên ta thực hiện phép đổi biến :

{\xi _1} = {\eta _1} + {\eta _2},{\xi _2} = {\eta _1} - {\eta _2},{\xi _3} = {\eta _3}

Khi đó ta có:

Q({\eta _1},{\eta _2},{\eta _3}) = 2({\eta _1} + {\eta _2})({\eta _1} - {\eta _2}) - 2({\eta _1} + {\eta _2}){\eta _3} + 2({\eta _1} - {\eta _2}){\eta _3}

= 2{\eta _1}^2 - 2{\eta _2}^2 - 4{\eta _2}{\eta _3} = 2{\eta _1}^2 - 2{({\eta _2} + {\eta _3})^2} + 2{\eta _3}^2

Thực hiện phép đổi biến:

{\mu _1} = \sqrt 2 {\eta _1},{\mu _2} = \sqrt 2 ({\eta _2} + {\eta _3}),{\mu _3} = \sqrt 2 {\eta _3}

Ta có: G({\mu _1},{\mu _2},{\mu _3}) = {\mu _1}^2 - {\mu _2}^2 + {\mu _3}^2

Do đó:

{n_ + } = 2,{n_ - } = 1,n = {n_ + } + {n_ - }

Phương trình thuộc loại hyperbolic trên R3

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: