Đề cương không gian Metric

· Không gian Metric

7. Giả sử X là không gian metric đầy đủ và f2010 là một ánh xạ co. Chứng minh rằng f có duy nhất điểm bất động.

Chứng minh:

Do X là không gian metric đầy đủ, f2010 là một ánh xạ co nên theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất điểm bất động của f2010(x) (*)

Ta có: f2010(x) = x (1)

Suy ra:

f(f2010(x) ) = f(x)

Hay f2010 (f(x)) = f(x) (2)

Suy ra f(x) cũng là điểm bất động của f2010

Từ (1) và (2) ta suy ra: f(x) = x

Vậy x là điểm bất động của f.

Ta sẽ chứng minh x là điểm bất động duy nhát của f.

Thật vậy:

giả sử tồn tại y \in X sao cho f(y)=y.

suy ra: f2010(y) = y

Suy ra y là điểm bất động của f2010.

Theo (*) suy ra y = x.

Vậy f có duy nhất điểm bất động.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: