Các định lí về giá trị trung bình (phần 2)

· Giải tích, Định lý

Định lí (Fermat). Nếu hàm số f có cực trị tại điểm x0 và có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0

Chứng minh định lí:

Chứng minh: Giả sử f xác định trên tập hợp số thực X và đạt cực đại tại điểm {x_0} \in X . Khi đó, tồn tại a,b \in R sao cho {x_o} \in (a,b) \subset X và

f(x) \le f({x_0})\,\forall x \in (a,b)

Với a < x < {x_0} , ta có:  \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0. Do đó:

f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \ge 0(1)

Với {x_0} < x < b , ta có:  \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \le 0. Do đó:

f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \le 0(2)

Từ (1) và (2) suy ra: f'({x_0}) = 0

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: