Các định lí về giá trị trung bình (phần 3)

· Giải tích, Định lý

Định lí (Fermat). Nếu hàm số f có cực trị tại điểm x0 và có đạo hàm tại điểm x0 thì

f’(x0) = 0

Định lí (Rolle).Giả sử hàm số f:{\rm{[}}a,b{\rm{]}} \to R liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng  (a,b). Nếu f (a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm {\rm{c}} \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}} sao cho f'(c) = 0

Chứng minh định lí Rolle

Vì f liên tục trên đoạn [a,b] nên, theo định lí Vây ơ xtrat, f đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn này.

Nếu M = m thì f(x) = m = M với mọi x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}. Do đó f’(x) = 0 với mọi  x \in (a,b). Có thể lấy c là một điểm bất kì của khoảng (a,b).

Nếu m<M thì f(a) \ne m hoặc f(a) \ne M . Giả sử chẳng hạn f(a) = f(b) \ne m . Theo định lí Vây ơ xtrat, tồn tại ít nhất một điểm c \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}  sao cho f(c) = m.

Vì  c \ne ac \ne b nên.

Theo định lí Phéc ma, ta có: f’ (c) = 0.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: