Các định lí về giá trị trung bình (phần 4)

· Giải tích, Định lý

Định lí (Rolle).Giả sử hàm số f:{\rm{[}}a,b{\rm{]}} \to R liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng  (a,b). Nếu f (a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm {\rm{c}} \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}} sao cho f'(c) = 0

Định lí (Lagrange).Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm {\rm{c}} \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}

sao cho f(b) – f(a)=f’(c) (b-a)

Hệ quả.

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b). Khi đó:

a) Nếu f’(x)=0 với mọi x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}} thì f là một hàm hằng trên [a,b];

b) Nếu f’(x) > 0 (f’(x)<0) với mọi x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}} thì f là hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt trên [a,b]

Chứng minh định lí Langrange:

Ta áp dụng định lí Rôn. Xét hàm số:

\varphi (x) = f(x) - f(a) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}(x - a),x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}

Dễ dàng thấy rằng \varphi thỏa mãn các giả thiết của định lí Rôn

\varphi liên tục trên đoạn [a,b],

\varphi có đạo hàm trên khoảng (a,b),

\varphi '(x) = f'(x) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}

\varphi (a) = \varphi (b) = 0

Do đó tồn tại ít nhất một điểm c \in (a,b) sao cho \varphi '(c) = 0

\varphi '(c) = f'(c) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = 0

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: