Các định lí về giá trị trung bình (phần 4)

Định lí (Rolle).Giả sử hàm số  liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng  (a,b). Nếu f (a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm  sao cho 

Định lí (Lagrange).Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm 

sao cho f(b) – f(a)=f’(c) (b-a)

Hệ quả.

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b). Khi đó:

a) Nếu f’(x)=0 với mọi  thì f là một hàm hằng trên [a,b];

b) Nếu f’(x) > 0 (f’(x)<0) với mọi  thì f là hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt trên [a,b]

Chứng minh định lí Langrange:

Ta áp dụng định lí Rôn. Xét hàm số:

Dễ dàng thấy rằng thỏa mãn các giả thiết của định lí Rôn

liên tục trên đoạn [a,b],

có đạo hàm trên khoảng (a,b),

Do đó tồn tại ít nhất một điểm  sao cho 

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.