Định lí (Rolle).Giả sử hàm số liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b). Nếu f (a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm
sao cho
Định lí (Lagrange).Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm
sao cho f(b) – f(a)=f’(c) (b-a)
Hệ quả.
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b). Khi đó:
a) Nếu f’(x)=0 với mọi thì f là một hàm hằng trên [a,b];
b) Nếu f’(x) > 0 (f’(x)<0) với mọi thì f là hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt trên [a,b]
Chứng minh định lí Langrange:
Ta áp dụng định lí Rôn. Xét hàm số:
Dễ dàng thấy rằng thỏa mãn các giả thiết của định lí Rôn
liên tục trên đoạn [a,b],
có đạo hàm trên khoảng (a,b),
Do đó tồn tại ít nhất một điểm sao cho
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Trả lời