Các định lí về giá trị trung bình (phần 5)

· Giải tích, Định lý

Định lí (Rolle).Giả sử hàm số f:{\rm{[}}a,b{\rm{]}} \to R liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng  (a,b). Nếu f (a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm {\rm{c}} \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}} sao cho f'(c) = 0

Định lí (Lagrange).Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm {\rm{c}} \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}

sao cho

f(b) – f(a)=f’(c) (b-a)

Hệ quả.

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b). Khi đó:

a) Nếu f’(x)=0 với mọi x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}} thì f là một hàm hằng trên [a,b];

b) Nếu f’(x) > 0 (f’(x)<0) với mọi x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}} thì f là hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt trên [a,b]

Định lí Cauchy. Giả sử f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a,b], có các đạo hàm trên khoảng (a,b). Nếu g'(x) \ne 0 với mọi x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}

 thì tồn tại ít nhất một điểm {\rm{c}} \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}

sao cho:

\frac{{f(b) - f(a)}}{{g(b) - g(a)}} = \frac{{f'(c)}}{{g'(c)}}

Định lí Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lí Cô si. Trong định lí Cô si, nếu lấy g(x) = x, thì ta được định lí Lagrange.

Chứng minh định lí Cau chy:

Trước hết ta để ý rằng hàm số g thỏa mãn các giả thiết của định lí Lagrange. Do đó tồn tại điểm \xi\in (a,b) sao cho

g(b) - g(a) = g'(\xi )(b - a)

g'(\xi ) \ne 0 nên từ đó suy ra:

g(b) - g(a) \ne 0

Xét hàm số:

\varphi (x) = f(x) - f(a) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{g(b) - g(a)}}{\rm{[}}g(x) - g(a){\rm{]}},x \in {\rm{[}}a,b{\rm{]}}

\varphi thỏa mãn các giả thiết của định lí Rôn

\varphi  liên tục trên đoạn [a,b],

\varphi có đạo hàm trên khoảng (a,b):

\varphi '(x) = f'(x) - \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}g'(x),

\varphi (a) = \varphi (b) = 0

Do đó tồn tại ít nhất một điểm c \in (a,b)sao cho \varphi '(c) = 0 .

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: