Giới hạn của dãy số (phần 3)

· Giải tích, Định lý

1.10. Định lí.

Nếu  {u_n} \le {v_n} \le {{\rm{w}}_n} (1)

Với mọi n, và

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\rm{w}}_n} = l

Thì

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = l

Chứng minh:

Giả sử \varepsilon là một số dương bất kì. Tồn tại một số nguyên dương N1 sao cho:

n\ge {N_1}\Rightarrow\left| {{u_n} - l}\right|<\varepsilon\Rightarrow l -\varepsilon < {u_n} < l + \varepsilon (2)

Tồn tại một số nguyên dương N2 sao cho:

n\ge {N_2}\Rightarrow\left| {{{\rm{w}}_n} - l}\right|<\varepsilon \Rightarrow l - \varepsilon <{u_n}< l +\varepsilon\,\,(3)

Đặt N = max {N1;N2}

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:

n\ge N\Rightarrow l -\varepsilon <{v_n} < l+\varepsilon\,,

Tức là:

n \ge N \Rightarrow \left| {{v_n} - l} \right| < \varepsilon

Vậy

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = l

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: