Giới hạn của dãy số (phần 5)

· Giải tích, Định lý

1.12. Định lí:

Giả sử  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = U

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = V .

Khi đó:

a) \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({u_n} + {v_n}) = U + V

b) \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({u_n}{v_n}) = U.V

Đặc biệt, nếu c \in Rlà một hằng số thì \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (c{u_n}) = cU

c) Nếu ngoài ra  V \ne 0thì

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{U}{V}

Chứng minh:

a) cho \varepsilon >0 bất kì. Tồn tại các số nguyên dương N1 và N2 sao cho:

n \ge {N_1} \Rightarrow \left| {{u_n} - U} \right| < \frac{\varepsilon }{2}

n \ge {N_2} \Rightarrow \left| {{v_n} - V} \right| < \frac{\varepsilon }{2}

Đặt N = max {N1;N2}. Khi đó:

n \ge N \Rightarrow \left| {({u_n} + {v_n}) - (U + V)} \right| = \left| {({u_n} - U) + ({v_n} - V)} \right|

\le \left| {({u_n} - U)} \right| + \left| {({v_n} - V)} \right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon

Vậy

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({u_n} + {v_n}) = U + V

b) Theo 1.3, tồn tại số dương M sao cho:

\left| {{u_n}} \right| \le M,\left| {{v_n}} \right| \le M\,\forall n,\,\left| U \right| \le M,\left| V \right| \le M(*)

Tồn tại các số M và M2 sao cho

\left| {{u_n}} \right| \le {M_1},\left| {{v_n}} \right| \le {M_2}\,\forall n

Đặt M = m{\rm{ax}}\{ {M_1}{\rm{;}}{{\rm{M}}_2}{\rm{;}}\left| U \right|{\rm{;}}\left| V \right|{\rm{\} }}

Số M thỏa mãn các điều kiện đã nêu

Cho \varepsilon >0bất kì. Tồn tại một số nguyên dương N sao cho:

n \ge N \Rightarrow \left| {{u_n} - U} \right| < \frac{\varepsilon }{{2M}}

\left| {{v_n} - V} \right| < \frac{\varepsilon }{{2M}}

Do đó:

n \ge N \Rightarrow \left| {{u_n}{v_n} - UV} \right| < \left| {({u_n} - U){v_n} + U({v_n} - v)} \right|

\le \left| {{u_n} - U} \right|\left| {{v_n}} \right| + \left| U \right|\left| {{v_n} - V} \right|

< \frac{\varepsilon }{{2M}}.M + M.\frac{\varepsilon }{{2M}} = \varepsilon

Vậy

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({u_n}{v_n}) = UV

c) Trước hết ta chứng minh rằng:

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = \frac{1}{V}

Vì \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = V \ne 0

nên

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{v_n}} \right| = \left| V \right| > 0

Tồn tại một số nguyên dương N1 sao cho:

n \ge {N_1} \Rightarrow \left| {\left| {{v_n}} \right| - \left| V \right|} \right| < \varepsilon

Chọn \varepsilon =\frac{{\left| V\right|}}{2}

\Rightarrow \left| {{v_n}} \right| > \frac{{\left| V \right|}}{2}

Với n \ge {N_1} ,  ta có:

Tồn tại một số nguyên dương N­2 sao cho:

n \ge {N_1} \Rightarrow \left| {{v_n} - V} \right| < \frac{{\varepsilon {V^2}}}{2}

Đặt N = max {N1; N2}. Khi đó:

n \ge N \Rightarrow \left| {\frac{1}{{{v_n}}} - \frac{1}{V}} \right| < \frac{2}{{{V^2}}}.\frac{{\varepsilon {V^2}}}{2} = \varepsilon

Vậy

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = \frac{1}{V}

.Từ đó suy ra:

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({u_n}.\frac{1}{{{v_n}}}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n}.\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = U.\frac{1}{V} = \frac{U}{V}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: