Chuỗi hàm Mac-Loranh (phần 1)

· Giải tích 2

Định lí sau cho một điều kiện đủ để một hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa.

4.5 Định lí. Giả sử hàm số f có đạo hàm mọi cấp trên khoảng (-R, R) (R > 0). Nếu tồn tại một số M > 0 sao cho:

\left| {{f^{(n)}}(x)} \right| \le M\,\forall x \in ( - R;R)

\forall n , thì

f(x)=\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{f^{(n)}}(0)}}{{n!}}{x^n}\,(1)}\,\forall x\in (-R,R).

Chứng minh:

Đặt:

{S_n}(x)=\sum\limits_{k=0}^n{\frac{{{f^{(k)}}(0)}}{{k!}}{x^k}\,.}

Theo công thức Macloranh, ta có:

f(x) = {S_n}(x) + {R_n}(x),

Với

{R_n}(x)=\frac{{{f^{(n + 1)}}(\theta x)}}{{(n + 1)!}}{x^{n + 1}},0<\theta < 1.

Do đó, với mọi x \in ( - R,R),

\left| {f(x) - {S_n}(x)} \right| = \left| {{R_n}(x)} \right| \le M\frac{{{R^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{R^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}} = 0 , từ bất đẳng thức trên ta suy ra

f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}(x)\,\forall x \in ( - R;R)

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: