Chuỗi hàm Mac-Loranh (phần 1)

Định lí sau cho một điều kiện đủ để một hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa.

4.5 Định lí. Giả sử hàm số f có đạo hàm mọi cấp trên khoảng (-R, R) (R > 0). Nếu tồn tại một số M > 0 sao cho:

$\left| {{f^{(n)}}(x)} \right| \le M\,\forall x \in ( - R;R)$

và $\forall n$ , thì

$f(x)=\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{f^{(n)}}(0)}}{{n!}}{x^n}\,(1)}\,\forall x\in (-R,R).$

Chứng minh:

Đặt:

${S_n}(x)=\sum\limits_{k=0}^n{\frac{{{f^{(k)}}(0)}}{{k!}}{x^k}\,.}$

Theo công thức Macloranh, ta có:

$f(x) = {S_n}(x) + {R_n}(x),$

Với

${R_n}(x)=\frac{{{f^{(n + 1)}}(\theta x)}}{{(n + 1)!}}{x^{n + 1}},0<\theta < 1.$

Do đó, với mọi $x \in ( - R,R),$

$\left| {f(x) - {S_n}(x)} \right| = \left| {{R_n}(x)} \right| \le M\frac{{{R^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{R^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}} = 0$ , từ bất đẳng thức trên ta suy ra

$f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}(x)\,\forall x \in ( - R;R)$

Toán – Tin