Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức (phần 1)

· Bất đẳng thức

Trích từ tạp chí toán học và tuổi trẻ tháng 3 năm 2012

Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 1. Cho ba số thực a,b, c thỏa mãn a + b + c = 0, và {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1 . Chứng minh rằng:

{a^2}{b^2}{c^2} \le \frac{1}{{54}}

(Đề thi Olympic Toán của Ailen năm 2009)

Lời giải.

Ta có b + c = -a,

bc = \frac{{{{(b + c)}^2} - ({b^2} + {c^2})}}{2} = \frac{{{a^2} - (1 - {a^2})}}{2} = {a^2} - \frac{1}{2}

{(b + c)^2} \ge 4bc

nên {a^2} \ge 4{a^2} - 2 \Rightarrow {a^2} \le \frac{2}{3}

{a^2}{b^2}{c^2} = {a^2}{\left( {{a^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} = {a^6} - {a^4} + \frac{1}{4}{a^2}

Xét hàm số

f(x) = {x^3} - {x^2} + \frac{1}{4}x\,\,\left( {0 \le x \le \frac{2}{3}} \right)

Ta có:

f'(x) = 3{x^2} - 2x + \frac{1}{4};f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2};x = \frac{1}{6}

Ta có bảng biến thiên:

bangbienthien

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta thấy

f(x) \le \frac{1}{{54}},\forall x \in \left[ {0,\frac{2}{3}} \right]

Suy ra :

f({a^2}) \le \frac{1}{{54}}

\Rightarrow {a^6} - {a^4} + \frac{1}{4}{a^2} \le \frac{1}{{54}} \Rightarrow {a^2}{b^2}{c^2} \le \frac{1}{{54}}

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: