Công thức Taylo – Iang (Taylor – Young)

· Giải tích, Giải tích 2

Định lí. Nếu hàm số f:(a,b) \to R có các đạo hàm đến cấp n tại điểm  {x_o} \in (a,b)thì

f({x_0} + h) = f({x_0}) + \frac{{f'({x_0})}}{{1!}}h + \frac{{f''({x_0})}}{{2!}}{h^2} + ... + \frac{{{f^{(n)}}({x_0})}}{{n!}}{h^n} + {h^n}o(1)\,\,(1)

(1) được gọi là công thức Taylo – Iang, gọi là phần dư dạng Iang.

Chứng minh: Gọi \alpha (h)là các hàm số xác định bởi:

f({x_0} + h) = f({x_0}) + \frac{{f'({x_0})}}{{1!}}h + \frac{{f'({x_0})}}{{2!}}{h^2} + ... + \frac{{{f^{(n - 1)}}({x_0})}}{{(n - 1)!}}{h^n} + \frac{{{h^n}}}{{n!}}{\rm{[}}{f^{(n)}}({x_o}) + \alpha (h){\rm{]}}

Ta chứng minh  \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \alpha (h) = 0. Thật vậy, đặt:

\varphi (h) = \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0}) - \frac{{f'({x_0})}}{{1!}}h - \frac{{f''({x_0})}}{{2!}}{h^2} - ... - \frac{{{f^{(n - 1)}}({x_0})}}{{(n - 1)!}}{h^{n - 1}}}}{{\frac{{{h^n}}}{{n!}}}}

Ta được:

\alpha (h) = \varphi (h) - {f^{(n)}}({x_0})

Vậy chỉ cần chứng minh

\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \varphi (h) = {f^{(n)}}({x_0})

Thật vậy, ta gặp dạng vô định  \frac{0}{0}. Áp dụng quy tắc Lô pi tan n – 1 lần ta được:

\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \varphi (h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{f^{(n - 1)}}({x_0} + h) - {f^{(n - 1)}}({x_0})}}{h} = {f^{(n)}}({x_o})

Vì theo giả thiết, hàm số f có đạo hàm cấp n tại điểm x0.

Công thức Taylo – Iang cho thấy nếu thay f({x_0} + h) bởi đa thức:

{P_n}(h) = f({x_0}) + \frac{{f'({x_0})}}{{1!}}h + \frac{{f'({x_0})}}{{2!}}{h^2} + ... + \frac{{{f^{(n)}}({x_0})}}{{n!}}{h^n}

Thì sai số của phép tính gần đúng là {R_n}(h) = {h^n}o(1)\,(h \to 0)

Đó là một vô cùng bé không đáng kể so với vô cùng bé bậc n khi  h \to 0.

Công thức sau đây cho phép tính phần dư một cách chính xác.

 

 

 

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: